Tasapinnalised kolmnurga omadused, valem ja pindala, arvutus



A võrdkülgne kolmnurk Tegemist on kolmepoolse polügooniga, kus kahel neist on sama mõõtmine ja kolmandal küljel erinev mõõtmine. Seda viimast külge nimetatakse baasiks. Selle omaduse tõttu anti sellele nimele, mis kreeka keeles tähendab "võrdseid jalgu"

Kolmnurkadeks on polügoonid, mida peetakse geomeetrias kõige lihtsamaks, sest need moodustavad kolm külge, kolm nurka ja kolm tippu. Need on need, millel on kõige vähem külgi ja nurki teiste hulknurkade suhtes, kuid selle kasutamine on väga ulatuslik.

Indeks

  • 1 Üheosaliste kolmnurkade omadused
    • 1.1 Komponendid
  • 2 Atribuudid
    • 2.1 Sisemine nurk
    • 2.2 Külgede summa
    • 2.3
    • 2.4 Kordsed nurkad
    • 2.5 Kõrgus, mediaan, bisector ja bisector on kattuvad
    • 2.6 Suhteline kõrgus
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter langevad kokku
  • 3 Perimeetri arvutamine?
  • 4 Kõrguse arvutamine?
  • 5 Kuidas ala arvutada?
  • 6 Kuidas arvutada kolmnurga alus?
  • 7 Harjutused
    • 7.1 Esimene harjutus
    • 7.2 Teine harjutus
    • 7.3 Kolmas harjutus
  • 8 Viited

Tasakaalu kolmnurga omadused

Tasakäeline kolmnurk klassifitseeriti parameetrina, kasutades tema külgede mõõdet, kuna kaks selle külge on võrdsed (neil on sama pikkus).

Sisemise nurga amplituudi järgi liigitatakse võrdkülgsed kolmnurgad järgmiselt:

  • Ristkülikukujuline ristkülik: kaks selle külge on võrdsed. Üks selle nurkadest on sirge (90. \ To) ja teised on samad (45. \ to igaüks)
  • Tasapinnaline nurgeline kolmnurk: kaks selle külge on võrdsed. Üks selle nurkadest on nüri (> 90o).
  • Tasakäeline akuutne nurk kolmnurk: kaks selle külge on võrdsed. Kõik selle nurgad on teravad (< 90o), kus kahel on sama meede.

Komponendid

  • Keskmine: on joon, mis väljub ühe külje keskpunktist ja jõuab vastassuunalise tipuni. Need kolm mediaani kokku lepivad punktis, mida nimetatakse tsentroidiks või tsentroidiks.
  • Bisektor: on kiir, mis jagab iga tipu nurga kaheks võrdse suurusega nurkaks. Sellepärast nimetatakse seda sümmeetriateljeks ja sellist tüüpi kolmnurgadel on ainult üks.
  • Mediatrix: on kolmnurga küljega risti olev segment, mis pärineb selle keskelt. Kolmnurga all on kolm vahendit ja nad nõustuvad punktiga, mida nimetatakse ringkirjaks.
  • Kõrgus: on joon, mis kulgeb tipust vastaspoolele ja ka see joon on selle külje suhtes risti. Kõigil kolmnurkadel on kolm kõrgust, mis langevad kokku punkti nimega orthocenter.

Omadused

Isosceles kolmnurgad on määratletud või identifitseeritud, sest neil on mitmeid neid esindavaid omadusi, mis pärinevad suurte matemaatikute esitatud teoreemidest:

Sisemine nurk

Sisemiste nurkade summa on alati 180o.

Külgede summa

Kahe külje mõõtude summa peab alati olema suurem kui kolmanda külje mõõt, a + b> c.

Konguentsed küljed

Tasapinnalised kolmnurgad on kahe mõõtmega või sama pikkusega; see tähendab, et nad on võrdsed ja kolmas pool erineb nendest.

Kongruentsed nurgad

Isosceles kolmnurgad on tuntud ka iso-nurkade kolmnurgadena, sest neil on kaks nurka, millel on sama mõõt (kongruentsed). Need asuvad kolmnurga põhjas, mis on sama pikkusega külgedega.

Seetõttu on teoreem, mis kinnitab, et:

"Kui kolmnurga külgedel on kaks ühtlast külge, siis on ka nende külgedega vastuolus olevad nurgad võrdsed." Seega, kui kolmnurk on võrdkülgne, on selle aluste nurgad võrdsed.

Näide:

Järgnev joonis näitab ABC kolmnurka. Jälgides selle bisektorit nurga B tipust alusele, jagatakse kolmnurk kaheks kolmnurgaks, mis on võrdsed BDA ja BDC-ga:

Seega jagati tipu B nurk kaheks võrdseks nurkaks. Bisektor on nüüd nende kahe uue kolmnurga vahel ühine külg (BD), samas kui küljed AB ja BC on võrdsed küljed. Nii et teil on kongruentsuse pool, nurk, külg (LAL).

See näitab, et tippude A ja C nurkadel on sama mõõt, nagu ka näidata, et kuna kolmnurgad BDA ja BDC on võrdsed, on AD ja DC küljed samuti võrdsed..

Kõrgus, mediaan, bisektor ja bisektor on kokku

Rida, mis on tõmmatud aluse vastas asuvast tipust võrdse tasandi kolmnurga aluse keskpunktini, on samal ajal kõrgus, mediaan ja bisektor, samuti bisektor, mis on aluse vastasnurga suhtes..

Kõik need segmendid langevad kokku neid esindavate segmentidega.

Näide:

Järgnev joonis kujutab kolmnurka ABC keskpunktiga M, mis jagab aluse kaheks segmentiks BM ja CM.

Kui joonistate segmendi punktist M vastupidisele tipule, siis saad määratluse järgi keskmise AM, mis on tipu A ja BC poole suhtes.

Kuna AM-segment jagab kolmnurga ABC kaheks võrdseks kolmnurkseks AMB ja AMC, tähendab see, et külje-, nurga- ja külgkongruentsuse puhul võetakse arvesse AM-i ja seega ka AM-i bisektor..

Seetõttu on bisektor alati võrdne mediaaniga ja vastupidi.

AM segment moodustab nurgad, millel on sama mõõtmega AMB ja AMC kolmnurgad; see tähendab, et need on täiendavad nii, et igaühe meede on:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

On teada, et AM-segmendi kolmnurga aluse suhtes moodustatud nurgad on sirged, mis näitab, et see segment on aluse suhtes täiesti risti..

Seetõttu esindab see kõrgust ja bisektorit, teades, et M on keskpunkt.

Seetõttu on sirge AM:

  • Esindab eKr kõrgust.
  • See on keskmine.
  • See sisaldub BC meedias.
  • See on tippnurga bisektor

Suhtelised kõrgused

Samade mõõtmetega on samade mõõtmetega võrdsed kõrgused.

Kuna võrdväärse kolmnurga külgedel on kaks võrdset külge, on ka nende kaks kõrgust võrdsed.

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter langevad kokku

Kuna kõrgust, keskmist, bisektorit ja bisektorit baasi suhtes esindavad samal ajal sama segment, on ortocenter, tsentraentriline sisend ja ümbermõõt keskpunktideks, st nad asuvad samal real:

Kuidas perimeetrit arvutada?

Hulknurga perimeeter arvutatakse külgede summana.

Kuna sel juhul on võrdkülgse kolmnurgaga sama mõõtmega kaks külge, siis selle perimeeter arvutatakse järgmise valemi abil:

P = 2*(pool a) + (külg b).

Kuidas kõrgust arvutada?

Kõrgus on aluse suhtes risti asuv joon, jagab kolmnurga kaheks võrdseks osaks, ulatudes vastasküljele.

Kõrgus esindab vastassuunda (a), pool alust (b / 2) külgnevale jalale ja "a" külg on hüpotenuus.

Pythagori teoreemi abil saate määrata kõrguse väärtuse:

a2 + b2 = c2

Kus:

a2 = kõrgus (h).

b2 = b / 2.

c2 = pool a.

Nende väärtuste asendamine Pythagori teoreemiga ja kõrguse tühistamine meil on:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Kui kongruentsete külgede moodustatud nurk on teada, võib kõrguse arvutada järgmise valemiga:

Kuidas ala arvutada?

Kolmnurkade pindala arvutatakse alati sama valemiga, korrutades aluse kõrguse ja jagamisega kahega:

On juhtumeid, kus on teada ainult kolmnurga kahe külje mõõtmed ja nende vaheline nurk. Sel juhul on ala määramiseks vaja rakendada trigonomeetrilisi suhteid:

Kuidas arvutada kolmnurga alus?

Kuna võrdkülgse kolmnurga külgedel on kaks võrdset külge, tuleb selle aluse väärtuse määramiseks teada vähemalt kõrguse või ühe selle nurga mõõdet.

Teades Pythagori teoreemi kõrgust:

a2 + b2 = c2

Kus:

a2 = kõrgus (h).

c2 = pool a.

b2 = b / 2, ei ole teada.

Me puhastasime b2 ja me peame:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Kuna see väärtus vastab poolele alusele, tuleb see korrutada kahega, et saada võrdväärse kolmnurga aluse täielik mõõt:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Juhul kui on teada ainult selle võrdsete külgede ja nende vahelise nurga väärtus, rakendatakse trigonomeetria, jälgides tippu tipust baasini, mis jagab võrdkülgse kolmnurga kaheks õigeks kolmnurgaks.

Sel viisil arvutatakse pool baasist:

Samuti on võimalik, et on teada ainult aluse vastas oleva tipu kõrguse ja nurga väärtus. Sel juhul võib trigonomeetria abil määrata aluse:

Harjutused

Esimene harjutus

Leidke võrdkülgse kolmnurga ABC pindala, teades, et kaks selle külge on 10 cm ja kolmas külg 12 cm..

Lahendus

Kolmnurga ala leidmiseks on vaja arvutada kõrgus Pythagori teoreemiga seotud ala valemiga, kuna võrdsete külgede vahel moodustatud nurga väärtus ei ole teada.

Meil on järgmised võrdse tasandi kolmnurga andmed:

  • Võrdsed küljed (a) = 10 cm.
  • Alus (b) = 12 cm.

Valemis olevad väärtused asendatakse:

Teine harjutus

Tasakaalu kolmnurga kahe võrdse külje pikkus on 42 cm, nende külge moodustub 130 ° nurko. Määrake kolmanda külje väärtus, selle kolmnurga pindala ja perimeeter.

Lahendus

Sel juhul on teada külgede ja nende vahelise nurga mõõtmised.

Puuduva poole väärtuse, st kolmnurga aluse väärtuse tundmiseks joonestatakse sellele risti, jagades nurga kaheks võrdseks osaks, millest igaüks moodustub iga õige kolmnurga jaoks, mis on moodustatud.

  • Võrdsed küljed (a) = 42 cm.
  • Nurk (Ɵ) = 130o

Nüüd trigonomeetriliselt arvutatakse baasi poole väärtus, mis vastab poolele hüpoteenusest:

Pindala arvutamiseks on vaja teada selle kolmnurga kõrgust, mida saab arvutada trigonomeetria või Pythagori teoreemi järgi, nüüd, kui baasi väärtus on juba määratud.

Trigonomeetriaga on:

Perimeeter arvutatakse:

P = 2*(pool a) + (külg b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Kolmas harjutus

Arvutage võrdse tasandi kolmnurga sisemine nurk, teades, et aluse nurk on  = 55o

Lahendus

Kahe puuduva nurga (Ê ja Ô) leidmiseks on vaja meeles pidada kahte kolmnurga omadust:

  • Iga kolmnurga sisemiste nurkade summa on alati = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Tasakaalu kolmnurgas on aluse nurgad alati võrdsed, st neil on sama meede, seega:

 = Ô

Ê = 55o

Nurga Ê väärtuse määramiseks asendada esimese reegli teiste nurkade väärtused ja Ê:

55o + 55o + 180 = 180 o

110 o + 180 = 180 o

180 = 180 o - 110 o

70 = 70 o.

Viited

  1. Álvarez, E. (2003). Geomeetria elemendid: arvukate harjutuste ja kompassi geomeetriaga. Medellini ülikool.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniline joonis: tegevused sülearvuti.
  3. Angel, A. R. (2007). Algne algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultuur.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matemaatika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Engineering Matemaatika käsiraamat. Wolfram MathWorld.