Skaala kolmnurga omadused, valem ja piirkonnad, arvutus



A skaleeni kolmnurk See on kolmepoolne hulknurk, kus kõigil on erinevad mõõtmised või pikkused; sel põhjusel antakse talle nimi skaleen, mis ladina keeles tähendab ronimist.

Kolmnurkadeks on polügoonid, mida peetakse geomeetrias kõige lihtsamaks, sest need on moodustatud kolmest küljest, kolmest nurkast ja kolmest tipust. Skaleeni kolmnurga puhul, kuna tal on kõik erinevad küljed, tähendab see, et ka kolm nurka on erinevad..

Indeks

  • 1 Scalene kolmnurga karakteristikud
    • 1.1 Komponendid
  • 2 Atribuudid
    • 2.1 Sisemine nurk
    • 2.2 Külgede summa
    • 2.3 Vastuolulised küljed
    • 2.4 Ebakõlad nurgad
    • 2.5 Kõrgus, mediaan, bisector ja bisector ei ole ühtsed
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter ei ole juhuslikud
    • 2.7 Suhtelised kõrgused
  • 3 Perimeetri arvutamine?
  • 4 Kuidas ala arvutada?
  • 5 Kõrguse arvutamine?
  • 6 Kuidas küljed arvutada?
  • 7 Harjutused
    • 7.1 Esimene harjutus
    • 7.2 Teine harjutus
    • 7.3 Kolmas harjutus
  • 8 Viited

Scalene kolmnurga karakteristikud

Skaala kolmnurgad on lihtsad polügoonid, sest ühelgi nende külgedel või nurkadel ei ole sama mõõdet, erinevalt võrdkülgsetest ja võrdkülgsetest kolmnurkadest.

Kuna kõigil külgedel ja nurkadel on erinevad mõõtmised, loetakse need kolmnurgad ebakorrapäraselt kumeraks hulknurkaks.

Sisemiste nurkade amplituudi järgi liigitatakse skaleeni kolmnurgad järgmiselt:

  • Skaala ristküliku kolmnurk: kõik selle küljed on erinevad. Üks selle nurkadest on sirge (90. \ To) ja teised on teravad ja erinevad.
  • Hämaruse nurga kolmnurga mõõtmine: kõik selle küljed on erinevad ja üks selle nurkadest on nüri (> 90 mm)o).
  • Astme nurga kolmnurk: kõik selle küljed on erinevad. Kõik selle nurgad on teravad (< 90o), erinevate meetmetega.

Teine skaleeni kolmnurga omadus on see, et nende külgede ja nurkade ebakõla tõttu ei ole neil sümmeetriatelge.

Komponendid

Keskmine: on joon, mis väljub ühe külje keskpunktist ja jõuab vastassuunalise tipuni. Need kolm mediaani kokku lepivad punktis, mida nimetatakse tsentroidiks või tsentroidiks.

Bisektor: on ray, mis jagab iga nurga kaheks võrdse suurusega nurkaks. Kolmnurga bisektorid on kokku lepitud punktina nimega stimro.

Mediatrix: on kolmnurga küljega risti olev segment, mis pärineb selle keskelt. Kolmnurgas on kolm meediumit, mis on kokku lepitud punktis, mida nimetatakse circumcenter.

Kõrgus: on joon, mis kulgeb tipust vastaspoolele ja ka see joon on selle külje suhtes risti. Kõigil kolmnurkadel on kolm kõrgust, mis langevad kokku punkti nimega orthocenter.

Omadused

Skaala kolmnurgad on määratletud või identifitseeritud, sest neil on mitu neid esindavaid omadusi, mis pärinevad suurte matemaatikute esitatud teoreemidest. Need on:

Sisemine nurk

Sisemiste nurkade summa on alati 180o.

Külgede summa

Kahe külje mõõtude summa peab alati olema suurem kui kolmanda külje mõõt, a + b> c.

Vastuolulised küljed

Scalene kolmnurkade kõigil külgedel on erinevad mõõdud või pikkused; see tähendab, et nad on ebajärjekindlad.

Vastuolulised nurgad

Kuna skaleeni kolmnurga kõik küljed on erinevad, on ka nende nurgad erinevad. Sisemiste nurkade summa on alati võrdne 180º ja mõnel juhul võib üks selle nurk olla nüri või sirge, samas kui teistes on kõik selle nurgad teravad.

Kõrgus, mediaan, bisector ja bisector ei ole juhuslikud

Sarnaselt mistahes kolmnurgale on skaleenil mitu sirgjoont, mis moodustavad selle, näiteks: kõrgus, mediaan, bisektor ja bisektor.

Oma külgede eripära tõttu ei ole sellises kolmnurgas ükski neist liinidest ühekordne.

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter ei ole juhuslikud

Kuna kõrgust, mediaani, bisektorit ja bisektorit esindavad sirgjoonte erinevad segmendid, leitakse skaleeni kolmnurgas kohtumispunktid - ortokeskus, tsentraakeskus, sisselõige ja ümbermõõt - erinevad punktid (need ei lange kokku).

Sõltuvalt sellest, kas kolmnurk on terav, ristkülik või skaleen, on ortocentril erinevad asukohad:

a. Kui kolmnurk on terav, on ortocenter kolmnurga sees.

b. Kui kolmnurk on ristkülik, langeb ortokeskus kokku sirge külje tipuga.

c. Kui kolmnurk on nüri, on ortocenter kolmnurga välisküljel.

Suhtelised kõrgused

Kõrgus on külgede suhtes.

Scalene kolmnurga puhul on need kõrgused erinevad. Igal kolmnurgal on kolm suhtelist kõrgust ja nende arvutamiseks kasutatakse Heroni valemit.

Kuidas perimeetrit arvutada?

Hulknurga perimeeter arvutatakse külgede summana.

Kuna sel juhul on skaleeni kolmnurga kõik küljed erineva mõõtmega, on selle perimeeter:

P = pool a + külg b + külg c.

Kuidas ala arvutada?

Kolmnurkade pindala arvutatakse alati sama valemiga, korrutades aluse kõrguse ja jagamisega kahega:

Piirkond = (baas * h) ÷ 2

Mõningatel juhtudel ei ole skaleeni kolmnurga kõrgus teada, kuid matemaatik Heron on välja pakkunud valemi, et arvutada kolmnurga kolme külje mõõtmist tundev ala.

Kus:

  • a, b ja c kujutavad kolmnurga külgi.
  • sp, vastab kolmnurga semiperimeetrile, st pool perimeetrile:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Juhul, kui teil on ainult kolmnurga kahe külje mõõtmine ja nende vahel moodustatud nurk, saab ala arvutada trigonomeetriliste suhetega. Seega peate:

Piirkond = (pool * h) ÷ 2

Kui kõrgus (h) on ühest küljest vastupidise nurga siinus. Näiteks iga ala puhul on ala järgmine:

  • Piirkond = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Piirkond = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Piirkond = (a * b * sen C) ÷ 2

Kuidas kõrgust arvutada?

Kuna skaleeni kolmnurga kõik küljed on erinevad, ei ole võimalik kõrgust Pythagori teoreemiga arvutada.

Heroni valemi põhjal, mis põhineb kolmnurga kolme külje mõõtmisel, võib ala arvutada.

Kõrgus saab ala üldvalemist kustutada:

Külg on asendatud külje a, b või c mõõtmisega.

Teine võimalus kõrguse arvutamiseks, kui on teada ühe nurga väärtus, on rakendada trigonomeetrilisi suhteid, kus kõrgus esindab kolmnurga jala..

Näiteks, kui on teada vastupidine nurk kõrgusega, määrab see sinine:

Kuidas küljed arvutada?

Kui teil on kahe külje mõõt ja nende vastas olev nurk, siis on võimalik määrata kolmas külg, kasutades kosiinide teoreemi.

Näiteks on kolmnurgas AB joonisel AC toodud segmenti kõrgus. Nii jaguneb kolmnurk kaheks paremaks kolmnurgaks.

C-külje (segment AB) arvutamiseks rakendatakse iga kolmnurga jaoks Pythagori teooriat:

  • Sinise kolmnurga jaoks peate:

c2 = h2 + m2

Kuna m = b - n, asendatakse see:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Roosa kolmnurga jaoks peate:

h2 = a2 - n2

See asendatakse eelmises võrrandis:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2 mld.

Teades, et n = a * cos C, asendatakse eelmises võrrandis ja saadakse külje c väärtus:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Cosines'i seaduse järgi võib pooled arvutada järgmiselt:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

On juhtumeid, kus kolmnurga külgede mõõtmised ei ole teada, vaid nende kõrgus ja nurgad, mis on moodustatud tippudesse. Pindala määramiseks nendel juhtudel on vaja rakendada trigonomeetrilisi suhteid.

Teades ühe selle tipu nurka, identifitseeritakse jalad ja kasutatakse vastavat trigonomeetrilist suhet:

Näiteks on katet AB nurga C suhtes vastupidine, kuid nurga A kõrval. Sõltuvalt küljest või katetist, mis vastab kõrgusele, eemaldatakse teine ​​külg selle väärtuse saamiseks..

Harjutused

Esimene harjutus

Arvutage skaleeni kolmnurga ABC pindala ja kõrgus, teades, et selle küljed on:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Lahendus

Andmetena antakse skaleeni kolmnurga kolme külje mõõtmised.

Kuna teil ei ole kõrguse väärtust, saate määrata piirkonna Heroni valemiga.

Kõigepealt arvutatakse semiperimeeter:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nüüd asendatakse Heroni valemi väärtused:

Piirkonna tundmaõppimist saab arvutada suhtelise kõrguse küljel b. Üldvalemilt on teil selle kustutamine:

Piirkond = (pool * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm) * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Teine harjutus

Arvestades scalene kolmnurka ABC, mille meetmed on:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Punktis B moodustub 50 ° nurk. Arvutage selle kolmnurga külgsuuna c, perimeetri ja pindala suhteline kõrgus.

Lahendus

Sel juhul on teil kaks külge. Kõrguse määramiseks on vaja arvutada kolmanda külje mõõtmine.

Kuna antud külgedele vastav nurk on antud, on AC-külje (b) mõõtmise määramiseks võimalik rakendada kosinuse seadust:

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Kus:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Andmed asendatakse:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 367,985

b = 19,18 m.

Kuna teil on juba kolme külje väärtus, arvutage kolmnurga perimeeter:

P = pool a + külg b + külg c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nüüd on võimalik määrata pindala Heroni valemiga, kuid kõigepealt tuleb arvutada semiperimeeter:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Külgede ja semiperimeetri mõõtmised asendatakse Heroni valemiga:

Lõpuks, teades ala, saab arvutada suhtelise kõrguse küljel c. Üldvalemist tuleb selle tühjendamine:

Piirkond = (pool * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Kolmas harjutus

Scalene kolmnurgas ABC on külg b 40 cm, külg c 22 cm ja tipus A 90 ° nurk.o. Arvutage kolmnurga pindala.

Lahendus

Sel juhul esitatakse skaleeni kolmnurga ABC kahe külje mõõtmised, samuti nurk, mis on moodustatud tipus A.

Pinna kindlaksmääramiseks ei ole vaja küljelt a mõõdet, sest trigonomeetriliste suhetega kasutatakse selle leidmiseks nurka..

Kuna on teada vastupidine nurk kõrgusega, määrab selle toote ühel küljel ja nurga nurga alt.

Asendades selle piirkonna valemi, mida peate:

  • Piirkond = (pool * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Piirkond = (b * c * sen A) ÷ 2

Pind = (40 cm) * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Pind = (40 cm) * 22 cm * 1) ÷ 2

Pindala = 880 cm2 ÷ 2

Pindala = 440 cm2.

Viited

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniline joonis: tegevused sülearvuti.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geomeetria CR tehnoloogia, .
  3. Angel, A. R. (2007). Algne algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultuur.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Eukleidiline geomeetria. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Geomeetria alused Mehhiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Kolledžiõpilaste algne geomeetria. Cengage'i õppimine.
  8. Harpe, P. d. (2000). Geomeetrilise rühma teooria teemad. Chicago ülikooli press.