Võrdsed kolmnurgad, omadused, valemid ja piirkond



A võrdkülgne kolmnurk see on hulknurk, millel on kolm külge, kus kõik on võrdsed; see tähendab, et neil on sama meede. Selle omaduse jaoks anti talle võrdkülgne nimi (võrdsed küljed).

Kolmnurkadeks on polügoonid, mida peetakse geomeetrias kõige lihtsamaks, sest need on moodustatud kolmest küljest, kolmest nurkast ja kolmest tipust. Võrdse külje korral tähendab võrdsete külgede korral ka selle kolm nurka.

Indeks

  • 1 Võrdse külje kolmnurga karakteristikud
    • 1.1 Võrdsed küljed
    • 1.2 Komponendid
  • 2 Atribuudid
    • 2.1 Sisemine nurk
    • 2.2 Välised nurgad
    • 2.3 Külgede summa
    • 2.4
    • 2.5. Kongruentsed nurgad
    • 2.6 Bisektor, mediaan ja mediatrix on kattuvad
    • 2.7 Bisektor ja kõrgus langevad kokku
    • 2.8 Ortokeskus, barycenter, incenter ja circumcenter langevad kokku
  • 3 Perimeetri arvutamine?
  • 4 Kõrguse arvutamine?
  • 5 Kuidas küljed arvutada?
  • 6 Piirkonna arvutamine?
  • 7 Harjutused
    • 7.1 Esimene harjutus
    • 7.2 Teine harjutus
    • 7.3 Kolmas harjutus
  • 8 Viited

Võrdsete külgede kolmnurga karakteristikud

Võrdsed küljed

Ekvivalentsed kolmnurgad on tasased ja suletud jooned, mis koosnevad kolmest sirgjoonest. Kolmnurgad liigitatakse nende omaduste, nende külgede ja nurkade järgi; võrdkülgne klassifitseeriti parameetrina selle külgede mõõtme abil, kuna need on täpselt samad, st nad on võrdsed.

Võrdkülgne kolmnurk on võrdse tasandi kolmnurga konkreetne juhtum, sest kaks selle külge on võrdsed. Sellepärast on kõik võrdkülgsed kolmnurgad samuti võrdsed, kuid mitte kõik võrdkülgsed kolmnurgad ei ole võrdkülgsed.

Sel viisil on võrdkülgsetel kolmnurkadel samaväärse kolmnurga samad omadused.

Võrdkülgseid kolmnurka võib klassifitseerida ka nende sisemise nurga amplituudina võrdkülgse nurga kolmnurgana, millel on kolm mõõdet ja kolm sisemist nurka sama mõõtmega. Nurgad on teravad, st nad on alla 90 mmo.

Komponendid

Kolmnurkadel on üldiselt mitu rida ja punkte, mis seda moodustavad. Neid kasutatakse ala, külgede, nurkade, mediaani, bisectori, risti ja kõrguse arvutamiseks.

  • Keskmine: on joon, mis väljub ühe külje keskpunktist ja jõuab vastassuunalise tipuni. Need kolm mediaani kokku lepivad punktis, mida nimetatakse tsentroidiks või tsentroidiks.
  • Bisektor: on kiir, mis jagab tipude nurga kaheks võrdse suurusega nurkaks, mistõttu seda tuntakse sümmeetriatelgina. Võrdkülgse kolmnurga kolm sümmeetriatelge.

Võrdkülgse kolmnurga puhul on bisektor tõmmatud nurga tipust vastasküljele, lõigates selle selle keskpunktis. Need on kokku lepitud stiimuliks.

  • Mediatrix: on segment, mis on risti selle kolmnurga küljega, mis pärineb selle keskel. Kolmnurga all on kolm vahendit ja nad nõustuvad punktiga, mida nimetatakse ringkirjaks.
  • Kõrgus: on joon, mis kulgeb tipust vastaspoolele ja ka see joon on selle külje suhtes risti. Kõigil kolmnurkadel on kolm kõrgust, mis langevad kokku punkti nimega orthocenter.

Omadused

Võrdsete külgede kolmnurga peamine omadus on see, et nad on alati võrdkülgsed kolmnurgad, sest võrdkülgsed moodustavad kaks ühilduvat külge ja võrdkülgsed kolmest küljest..

Sel moel pärinesid võrdkülgsed kolmnurgad kõik võrdse kolmnurga omadused:

Sisemine nurk

Sisemiste nurkade summa on alati 180o, ja kuna kõik selle nurgad on võrdsed, siis igaüks neist mõõdab 60o.

Välised nurgad

Väliste nurkade summa on alati võrdne 360-gao, seetõttu mõõdab iga väline nurk 120o. Seda seetõttu, et sisemised ja välised nurgad on täiendavad, st nende lisamine on alati 180o.

Külgede summa

Kahe külje mõõtude summa peab alati olema suurem kui kolmanda külje mõõt, st a + b> c, kus a, b ja c on mõlema külje mõõtmised..

Konguentsed küljed

Võrdkülgsetel kolmnurgadel on kolm külge sama mõõtme või pikkusega; see tähendab, et nad on võrdsed. Seetõttu on eelmises punktis a = b = c.

Kongruentsed nurgad

Võrdsed kolmnurgad on tuntud ka kui võrdsed kolmnurgad, kuna nende kolm sisemist nurka on üksteisega kooskõlas. Seda seetõttu, et kõigil selle osadel on sama meede.

Bisektor, mediaan ja mediaator on kattuvad

Bisektor jagab kolmnurga külje kaheks osaks. Võrdkülgsetes kolmnurkades jagatakse see külg kaheks täpselt võrdseks osaks, st kolmnurk jagatakse kaheks võrdseks õigeks kolmnurgaks.

Seega langeb võrdkülgse kolmnurga mis tahes nurga alt tõmmatud bisektor kokku selle nurga mediaani ja bisektoriga..

Näide:

Järgnev joonis näitab keskpunkti D kolmnurka ABC, mis jagab ühe külje kaheks segmentiks AD ja BD.

Kui joonistate punkti D punktist vastassuunas olevale tipule, siis saad määratluse järgi mediaani CD, mis on tipu C ja AB külje suhtes.

Kuna CD-segment jagab kolmnurga ABC kaheks kolmnurgaks, mis on võrdsed CDB ja CDA-ga, tähendab see, et meil on kongruentsuse juhtum: külg, nurk, külg ja seetõttu on CD ka BCD bisektor..

CD-segmendi joonistamisel jaga tippude nurk kaheks võrdseks nurkaks 30-nio, tipu A nurk jätkab mõõtmist 60. \ to ja sirge CD moodustab 90 ° nurgao keskpunkti D suhtes.

Segmendi CD moodustab nurgad, millel on sama mõõtmine kolmnurkade ADC ja BDC puhul, st need on täiendavad nii, et igaüks mõõdab:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

Ja nii, teil on ka see, et CD-segment on ka AB-i poolitusjoon.

Bisektor ja kõrgus langevad kokku

Kui joonistate bisektri nurga tipust vastaspoole keskpunktini, jagab ta võrdkülgse kolmnurga kaheks võrdseks kolmnurgaks.

Nii, et moodustub 90 ° nurko (sirge). See näitab, et see joon segment on selle külje suhtes täiesti risti ja selle määratluse kohaselt oleks see kõrgus.

Sel moel langeb võrdkülgse kolmnurga mistahes nurga bisektor sama nurga suhtelise kõrgusega..

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter langevad kokku

Kuna kõrgust, mediaani, bisektorit ja bisektorit esindavad samal ajal sama segment, siis võrdsete külgede kolmnurgas on nende segmentide kohtumispunktid - orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter-, samas punktis:

Kuidas perimeetrit arvutada?

Hulknurga perimeeter arvutatakse külgede summana. Kuna sel juhul on võrdkülgse kolmnurga kõik küljed sama mõõtmega, siis selle perimeeter arvutatakse järgmise valemiga:

P = 3 * pool.

Kuidas kõrgust arvutada?

Kuna kõrgus on aluse suhtes risti asuv joon, jagab see selle kaheks võrdseks osaks, ulatudes vastasküljele. Seega moodustuvad kaks võrdset õiget kolmnurka.

Kõrgus (h) on vastaspool (a), pool külge AC külgnevale küljele (b) ja külg BC tähistab hüpotensiooni (c).

Pythagori teoreemi abil saate määrata kõrguse väärtuse:

a2 + b2= c2

Kus:

a2 = kõrgus (h).

b2 = pool b / 2.

c2 = pool a.

Nende väärtuste asendamine Pythagori teoreemiga ja kõrguse tühistamine meil on:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Kui on teada kongruentsete külgede moodustatud nurk, võib kõrguse (mida kujutab jalg), kasutades trigonomeetrilisi suhteid.

Jalad nimetatakse vastupidiseks või külgnevateks sõltuvalt viitenumbrist.

Näiteks eelmisel joonisel on katett h nurga C suhtes vastupidine, kuid nurga B kõrval:

Seega saab kõrgust arvutada:

Kuidas küljed arvutada?

On juhtumeid, kus kolmnurga külgede mõõtmised ei ole teada, kuid nende kõrgus ja nurgad, mis on moodustatud tippudesse.

Pindala määramiseks nendel juhtudel on vaja rakendada trigonomeetrilisi suhteid.

Teades ühe selle tipu nurka, identifitseeritakse jalad ja kasutatakse vastavat trigonomeetrilist suhet:

Seega on jalg AB nurga C suhtes vastupidine, kuid nurga A kõrval. Sõltuvalt kõrgusest vastavale küljele või jalale jääb teine ​​külg selle väärtuse saamiseks välja, teades, et kolmnurga kolmnurga all on kolm külgedel on alati sama suurus.

Kuidas ala arvutada?

Kolmnurkade pindala arvutatakse alati sama valemiga, korrutades aluse kõrguse ja jagamisega kahega:

Piirkond = (b * h) ÷ 2

Teades, et kõrgus on antud valemiga:

Harjutused

Esimene harjutus

Ekvivalentse kolmnurga ABC küljed on 20 cm pikkused. Arvutage selle hulknurga kõrgus ja pindala.

Lahendus

Selle võrdkülgse kolmnurga ala kindlaksmääramiseks on vaja arvutada kõrgus, teades, et selle jagamisel jagab see kolmnurga kaheks võrdseks õigeks kolmnurgaks.

Sel viisil saab selle leidmiseks kasutada Pythagori teooriat:

a2 + b2= c2

Kus:

a = 20/2 = 10 cm.

b = kõrgus.

c = 20 cm.

Teoreemi andmed asendatakse:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400-100 cm)

b2 = 300 cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

See tähendab, et kolmnurga kõrgus on 17,32 cm. Nüüd on võimalik arvutada kolmnurga pindala, asendades valemis:

Piirkond = (b * h) ÷ 2

Pind = (20 cm) * 17,32 cm) ÷ 2

Pindala = 346,40 cm2 ÷ 2

Pindala = 173,20 cm2.

Teine lihtsam viis harjutuse lahendamiseks on asendada piirkonna otsevalemis olevad andmed, kus kõrguse väärtus on kaudselt:

Teine harjutus

Maa, millel on võrdkülgse kolmnurga kuju, istutatakse. Kui selle maa ümbermõõt on 450 m, arvutage välja õitsetud ruutmeetrite arv.

Lahendus

Teades, et kolmnurga perimeeter vastab selle kolme külje summale ja maastikul on võrdkülgse kolmnurga kuju, on kolmnurga kolmel küljel sama mõõt või pikkus:

P = külg + külg + külg = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nüüd on vaja ainult selle kolmnurga kõrguse arvutamist.

Kõrgus jagab kolmnurga kaheks võrdseks parempoolseks kolmnurkseks, kus üks jalgadest kujutab endast kõrgust ja teist alust. Pythagori teoreemi järgi võib kõrguse määrata:

a2 + b2= c2

Kus:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = kõrgus

Teoreemi andmed asendatakse:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Seega on lillede hõivamiseks vajalik ala:

Pind = b * h ÷ 2

Pindala = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Pindala = (19,485 m2) ÷ 2

Pindala = 9,742,5 m2

Kolmas harjutus

Võrdkülgne kolmnurk ABC jagatakse joone segmendiga, mis ulatub selle tipust C keskpunktini D, mis asub vastaspoolel (AB). See segment on 62 meetrit. Arvuta selle võrdkülgse kolmnurga pindala ja ümbermõõt.

Lahendus

Teades, et võrdkülgne kolmnurk on jagatud kõrgusele vastava joonesegmendiga, moodustades seega kaks kongruentset parempoolset kolmnurka, jagab see omakorda tipu C nurga sama mõõtmega kaheks nurgaks, 30o igaüks neist.

Kõrgus moodustab 90 ° nurgao segmendi AB suhtes ja tipu A nurk mõõdab seejärel 60o.

Seejärel kasutatakse viitena 30-kaldenurkao, kõrgus-CD on kujutatud nurga kõrval asuvana ja BC hüpotenuusina.

Nende andmete põhjal saab määrata kolmnurga ühe külje väärtuse, kasutades trigonomeetrilisi suhteid:

Kuna võrdkülgse kolmnurga kõigil külgedel on täpselt sama mõõt või pikkus, tähendab see, et võrdkülgse kolmnurga ABC mõlemal küljel on 71,6 meetrit. Teades, et on võimalik määrata teie piirkond:

Pind = b * h ÷ 2

Pindala = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Pindala = 4,338,6 m2 ÷ 2

Pindala = 2,219,3 m2

Ümbermõõt on antud kolmest küljest:

P = külg + külg + külg = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Viited

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniline joonis: tegevused sülearvuti.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultuur.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Eukleidiline geomeetria. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geomeetria A Ümberkujundamise meetod. USA: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Eukleidide geomeetria elemendid.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geomeetria ja trigonomeetria.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integreeritud geomeetria Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonomeetria Pearson Education.