Binomiaalne teoreemide demonstreerimine ja näited

The binomiaalne teoreem on võrrand, mis ütleb meile, kuidas arendada vormi väljendust (a + b)ⁿ mõnele loomulikule numbrile n. Binomiaal ei ole rohkem kui kahe elemendi summa, nagu (a + b). See võimaldab meil teada ka a^kb^n-k milline on sellega seotud koefitsient.

See teoreem on tavaliselt omistatud inglise leiutajale, füüsikule ja matemaatikale Sir Isaac Newtonile; siiski on leitud mitmeid kirjeid, mis näitavad, et Lähis-Idas on selle olemasolu juba teada, umbes 1000 aastat.

Indeks

• 1 kombinatoorne number
• 2 Demonstreerimine
• 3 Näited
  • 3.1 Identiteet 1
  • 3.2 Identiteet 2
• 4 Teine meeleavaldus
  • 4.1 Demonstreerimine induktsiooni teel
• 5 uudishimu
• 6 Viited

Kombinatoorne number

Binomiaalne teoreem ütleb meile matemaatiliselt järgmist:

Selles väljendis on a ja b reaalarvud ja n on loomulik arv.

Enne meeleavalduse esitamist näeme mõningaid vajalikke põhimõisteid.

Kombinatoorne arv või kombinatsioonid n-st on väljendatud järgmiselt:

See vorm väljendab väärtust, kui palju alamhulkaid k elementidega saab valida n-elementide hulgast. Selle algebralise väljenduse annab:

Vaatame näiteks: oletame, et meil on seitsmest pallist koosnev rühm, millest kaks on punased ja ülejäänud on sinised.

Me tahame teada, kui palju võimalusi me neid järjest. Üks võimalus oleks asetada kaks punast esimesse ja teistesse kohtadesse ja ülejäänud pallid ülejäänud positsioonidesse.

Sarnaselt eelmisele juhtumile võime anda punased pallid vastavalt esimese ja viimase positsiooni ning hõivata teised sinise palliga.

Nüüd on efektiivne viis arvutada, kuidas mitmel viisil saame palli järjestada, kasutades kombinatoorseid numbreid. Me näeme iga positsiooni järgmise komplekti elemendina:

Järgmiseks on vaja valida ainult kahe elemendi alamhulk, milles igaüks neist elementidest esindab positsiooni, mida punased pallid hõivavad. Me saame selle valiku teha vastavalt suhetele, mille annavad:

Sel moel on meil sellised pallid sortimiseks 21.

Selle näite üldine idee on väga kasulik binomiaalse lause demonstreerimiseks. Vaatame konkreetset juhtumit: kui n = 4, on meil (a + b)⁴, mis pole midagi muud kui:

Selle toote arendamisel on meil kokku nende terminite summa, mis saadakse iga nelja teguri (a + b) elemendi korrutamisel. Seega on meil tingimused, mis on vormis:

Kui soovime vormi tähtaega saada⁴, lihtsalt korrutage järgmisel viisil:

Pange tähele, et selle elemendi saamiseks on ainult üks viis; aga mis juhtub, kui me otsime vormi tähtaega²b²? Kuna "a" ja "b" on reaalarvud ja seetõttu on kommuteeriv õigus kehtiv, siis on meil võimalus seda terminit saada, korrutades liikmetega, nagu on näidatud nooltega.

Kõigi nende toimingute teostamine on tavaliselt mõnevõrra tüütu, kuid kui me näeme terminit "a" kombinatsioonina, kus me tahame teada, kui palju võimalusi me saame valida kahe "a" neljast tegurist, saame kasutada eelmise näite ideed. Nii et meil on järgmised võimalused:

Niisiis, me teame, et väljenduse (a + b) lõplikus arengus⁴ meil on täpselt 6a²b². Kasutades sama ideed teiste elementide puhul, peate:

Seejärel lisame eelnevalt saadud väljendid ja peame:

See on ametlik tõend üldise juhtumi kohta, kus n on mis tahes loomulik number.

Demonstreerimine

Pange tähele, et tingimused, mis jäävad arendamisel (a + b)ⁿ on vormi^kb^n-k, kus k = 0,1, ..., n. Kasutades eelmise näite ideed, on meil võimalus "n" teguritest valida "k" muutujad:

Sel viisil valides valime automaatselt n-k muutujad "b". Sellest järeldub, et:

Näited

Arvestades (a + b)⁵, Mis oleks selle areng?

Binomiaalse teoreemi järgi peame:

Binomiaalne teoreem on väga kasulik, kui meil on väljend, milles me tahame teada, milline on konkreetse termini koefitsient ilma täieliku arendamiseta. Näiteks võime võtta järgmise küsimuse: milline on koefitsient x⁷ja⁹ (x + y) arendamisel¹⁶?

Binomiaalse teoreemi järgi on koefitsient:

Teine näide oleks: milline on koefitsient x⁵ja⁸ (3x-7y) arendamisel¹³?

Kõigepealt kirjutame sõnavõtu mugavalt ümber; see on:

Seejärel, kasutades binomiaalset teoreemi, on meil soovitud koefitsient, kui meil on k = 5

Teine näide selle teoreemi kasutamisest on mõnede tavaliste identiteetide, nagu allpool mainitud, tutvustamine.

Identiteet 1

Kui n on loomulik number, peame:

Demonstreerimiseks kasutame binomiaalteoreemi, kus nii "a" kui "b" võtavad väärtuse 1. Seejärel on:

Sel viisil oleme tõestanud esimese identiteedi.

Identiteet 2

Kui "n" on siis loomulik number

Binomiaalse teoreemi järgi peame:

Teine meeleavaldus

Me saame teha binomiaalse teoreemi jaoks erinevaid demonstratsioone, kasutades induktiivset meetodit ja paskaalset identiteeti, mis ütleb meile, et kui "n" ja "k" on positiivsed täisarvud, mis vastavad n ≥ k, siis:

Demonstreerimine induktsiooni teel

Kõigepealt vaatame, et induktiivne alus on täidetud. Kui n = 1, peame:

Tõepoolest, näeme, et see on täidetud. Nüüd laske n = j nii, et see oleks täidetud:

Me tahame näha, et n = j + 1 puhul on täidetud, et:

Seega peame:

Hüpoteesiga teame, et:

Seejärel kasutage jaotusomandit:

Järgnevalt arendame iga meie kokkuvõtte:

Nüüd, kui me rühmitame mugavalt, peame:

Kasutades pascal identiteeti, peame:

Lõpuks märkige, et:

Seetõttu näeme, et binomiaalne teoreem on täidetud kõikidele "n" -le, mis kuulub loomulikule arvule ja sellega lõpeb test.

Uudised

Kombinatoorse numbri (nk) nimetatakse ka binomiaalseks koefitsiendiks, sest just binomiaalse (a + b) kujunemisel ilmneb koefitsient.ⁿ.

Isaac Newton andis selle teoreemi üldise ülevaate juhtumist, kus eksponent on reaalarv; see teoreem on tuntud kui Newtoni binomiaalne teoreem.

Juba antiikajal oli see tulemus tuntud konkreetse juhtumi puhul, kus n = 2. See juhtum on mainitud Elemendid Euclides'i kohta.

Viited

1. Johnsonbaugh Richard. Diskreetne matemaatika PHH
2. Kenneth.H. Rosen, diskreetne matemaatika ja selle rakendused. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskreetne matemaatika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskreetne ja kombineeritud matemaatika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskreetne matemaatika ja kombineerijad