Varignoni teoreemide näited ja lahendatud harjutused



The Varignoni teoreem tuvastab, et kui mistahes nelinurkse külje külge on pidevalt ühendatud kõik punktid, tekib paralleel. See teoreem on koostatud Pierre Varignoni poolt ja avaldatud raamatus 1731. aastal Matemaatika elemendid".

Raamatu avaldamine toimus aastaid pärast tema surma. Kuna seda teemat esitles Varignon, siis nimetatakse teda paralleelselt. Teoreem põhineb eukleidilisel geomeetrial ja esitab nelinurkade geomeetrilised suhted.

Indeks

  • 1 Mis on Varignoni teoreem??
  • 2 Näited
    • 2.1 Esimene näide
    • 2.2 Teine näide
  • 3 Harjutused lahendatud
    • 3.1 Harjutus 1
    • 3.2 Harjutus 2
    • 3.3 Harjutus 3
  • 4 Viited

Mis on Varignoni teoreem??

Varignon väitis, et nelinurga keskpunktide poolt defineeritud näitaja tulemuseks on alati paralleel, ja selle pindala on alati pool nelinurga ala, kui see on tasane ja kumer. Näiteks:

Joonisel on näha nelinurk, mille pindala on X, kus külgede keskpunkte esindavad E, F, G ja H ning kui nad on ühendatud, moodustavad need paralleelogrammi. Neli nelinurga pindala on moodustunud kolmnurkade pindalade summa ja pool sellest vastab rööpküliku alale.

Kuna rööpkülikuala pindala on pool nelinurga pindala, saab määrata selle rööpküliku perimeetri.

Seega on perimeeter võrdne nelinurga diagonaalide pikkuste summaga; see on sellepärast, et nelinurga mediaaniks on rööpküliku diagonaalid.

Teisest küljest, kui nelinurga diagonaalide pikkused on täpselt samad, siis on paralleelogramm teemant. Näiteks:

Jooniselt võib näha, et nelinurga külgede keskpunktide ühendamisega saadakse rombi. Teisest küljest, kui nelinurga diagonaalid on risti, on rööpkülik ristkülik..

Samuti on rööpkülik ruut, kui nelinurga diagonaal on sama pikk ja ka risti..

Teoreem ei ole mitte ainult täidetud lamedates nelinurkades, vaid rakendatakse ka ruumilise geomeetria või suurte mõõtmetena; st nendes nelinurkades, mis ei ole kumerad. Selle näiteks võib olla oktaeeder, kus keskpunktid on iga näo keskpunktid ja moodustavad rööptahuka..

Sel viisil saab erinevate jooniste keskpunktide ühendamise teel saada paralleelprogramme. Lihtne viis kontrollida, kas see on tõsi, on see, et vastasküljed peavad olema pikendatud.

Näited

Esimene näide

Vastaspoole pikendamine, et näidata, et see on paralleelogramm:

Teine näide

Liitudes teemantide keskpunktidega saame ristküliku:

Teoreemi kasutatakse nelinurga külgede keskel asuvate punktide ühenduses ja seda saab kasutada ka muud tüüpi punktide jaoks, näiteks kolmnurga, penta-sektsiooni või isegi lõpmatu arvu sektsioonide jaoks. nth), et jagada mistahes nelinurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Meil on joonisel nelinurkne piirkond ABCD, kus selle külgede keskpunktid on PQSR. Veenduge, et varignoni paralleel on moodustatud.

Lahendus

On võimalik kontrollida, et PQSR-punktidega liitumisel moodustub Varignoni paralleelogramm just seetõttu, et avalduses on antud nelinurga keskpunktid..

Selle näitamiseks on PQSR-i keskpunktid ühendatud, seega võib näha, et moodustub teine ​​nelinurk. Et näidata, et see on rööpkülik, peate lihtsalt joonestama punkti C punktist A, nii et näete, et CA on paralleelne PQ ja RS.

Samamoodi võib PQRSi külgede laiendamisega märkida, et PQ ja RS on paralleelsed, nagu on näidatud järgmises pildis:

Harjutus 2

Sellel on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Nende külgede keskpunktide ühendamisel moodustub rombus ABCD, mis on jagatud kahe diagonaaliga AC = 7cm ja BD = 10cm, mis langeb kokku ristküliku külgede mõõtmistega. Määrake teemant- ja ristkülikualad.

Lahendus

Meenutades, et tulemuseks oleva paralleelogrammi pindala on pool nelinurka, saate määrata nende ala, teades, et diagonaalide mõõt langeb ristküliku külgedega. Seega peate:

AB = D

CD = d

Aristkülik = (AB * CD) = (10 cm) * 7 cm) = 70 cm2

Aromb = A ristkülik / 2

Aromb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Harjutus 3

Meil on joonisel nelinurk, millel on punktid EFGH, segmentide pikkused on antud. Määrake, kas EFGH sidumine on paralleel.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Lahendus

Segmentide pikkuse tõttu on võimalik kontrollida, kas segmentide vahel on proportsionaalsus; see tähendab, et me teame, kas need on paralleelsed, seostades nelinurga segmendid järgmiselt:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Seejärel kontrollitakse proportsionaalsust, kuna:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Samamoodi, kui joonestatakse joon punktist B punkti D, näeme, et EH on BD-ga paralleelne, nagu BD on paralleelne FG-ga. Teisest küljest on EF paralleelne GH-ga.

Sel moel saab kindlaks teha, et EFGH on paralleelogramm, sest vastasküljed on paralleelsed.

Viited

  1. Andres, T. (2010). Matemaatiline olümpiaad Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Eukleidiline geomeetria. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Geomeetria uurimine. Mehhiko: hispaanlane - ameeriklane.
  4. Ramo, G. P. (1998). Fermat-Torricelli probleemide tundmatud lahendused. ISBN - Iseseisev töö.
  5. Vera, F. (1943). Geomeetria elemendid. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Mõned seiklused Eukleidese geomeetrias. Lõuna-Aafrika.