Esimene, teine ​​ja teine ​​näide



Esimene ja teine Thalesi teoreem Miletusest need põhinevad kolmnurkade määramisel teistest sarnastest (esimene teoreem) või ümbermõõtudest (teine ​​teoreem). Need on olnud väga kasulikud erinevates valdkondades. Näiteks osutus esimene teoreem suurte struktuuride mõõtmiseks väga kasulikuks, kui puudusid keerulised mõõtevahendid.

Thales oli kreeka matemaatik, kes andsid olulise panuse geomeetria, mis toovad esile need kaks teoreemide (mõnel tekstidega kirjutatakse ka Thales) ja kasulikke rakendusi. Neid tulemusi on kasutatud kogu ajaloo vältel ja need on võimaldanud lahendada mitmesuguseid geomeetrilisi probleeme.

Indeks

  • 1 Esimene lugude teooria
    • 1.1 Rakendus
    • 1.2 Näited
  • 2 Teoste teine ​​teoreem
    • 2.1
    • 2.2 Näide
  • 3 Viited

Tales'i esimene teoreem

Tales'i esimene teoreem on väga kasulik vahend, mis võimaldab muuhulgas ehitada üles kolmnurga, mis on sarnane eelnevalt tuntud. Siit saadakse teoreemi erinevad versioonid, mida saab rakendada mitmes kontekstis.

Enne avalduse andmist pidage meeles mõningaid kolmnurkade sarnasuse mõisteid. Sisuliselt on kaks kolmnurka sarnased, kui nende nurgad on võrdsed (neil on sama mõõt). See toob kaasa asjaolu, et kui kaks kolmnurka on sarnased, on nende vastavad küljed (või homoloogid) proportsionaalsed.

Thalesi esimene teoreem ütleb, et kui antud kolmnurga piires on sirge joon selle paralleelselt, on saadud uus kolmnurk sarnane algse kolmnurgaga.

Saate ka suhe moodustunud nurkade vahel, nagu on näha järgmisest joonisest.

Rakendus

Mitmesuguste rakenduste hulgas paistab silma eriti huvipakkuv ja see on seotud ühega viisidest, kuidas mõõtmised antiikajast suurte struktuuride kohta tehti, millal Thales elas ja kus ei olnud kaasaegseid mõõteseadmeid. need on praegu olemas.

On öeldud, et Thalesil õnnestus mõõta Egiptuse suurimat püramiidi, Cheopsit. Selleks arvas Thales, et päikesekiirte peegeldused puudutasid maapinda, mis moodustab paralleelsed jooned. Selle eelduse kohaselt jäi ta varras või roo vertikaalselt maasse.

Seejärel kasutas ta kahe saadud kolmnurga sarnasust, mille moodustas püramiidi varju pikkus (mida saab kergesti välja arvutada) ja püramiidi (tundmatu) kõrgus ning teine ​​moodustub varju pikkustest. ja varda kõrgus (mida saab ka kergesti välja arvutada).

Kasutades nende pikkuste proportsionaalsust, saate püramiidi kõrguse selgeks teha.

Kuigi see mõõtmise meetod võib visata viga olulist lähenemist õigsuse kohta kõrgus ja sõltub parallelism päikesekiirguse (mis omakorda sõltub täpne aeg), peame tunnistama, et see on väga tark mõte ning see andis selleks ajaks hea mõõtmise alternatiivi.

Näited

Leia iga kord x väärtus:

Lahendus

Siin on kaks rida lõigatud kahe paralleelse joonega. Thalesi esimese teoreemi järgi on nende vastavad küljed proportsionaalsed. Eelkõige:

Lahendus

Siin on kaks kolmnurka, millest üks on moodustatud segmendiga, mis on paralleelne teise küljega (täpselt pikkuse x pool). Taleside esimese teoreemi järgi peate:

Teine lugude teooria

Thalesi teine ​​teoreem määrab õige kolmnurga, mis on kirjutatud ümbermõõdule sama punkti igas punktis.

Ümbermõõdule kantud kolmnurk on kolmnurk, mille tipud on ümbermõõdul ja on seega selles.

Täpsemalt teise lause Sellised öeldud: antud ümbermõõduga keskusest O ja läbimõõt AC igal punktil B ümbermõõdust (va A ja C) määrab kolmnurk ABC täisnurga

Põhjenduseks tuleb märkida, et nii OA kui ka OB ja OC vastavad ümbermõõdu raadiusele; seetõttu on nende mõõtmised samad. Sealt saadakse, et kolmnurgad OAB ja OCB on võrdsed, kus

On teada, et kolmnurga nurkade summa on 180º. Kasutades seda kolmnurga ABC abil peate:

2b + 2a = 180 °.

Samamoodi on meil b + a = 90º ja b + a =

Pange tähele, et Thales'i teise teoreemi poolt esitatud õige kolmnurk on täpselt see, mille hüpoteenus on võrdne ümbermõõdu läbimõõduga. Seetõttu määrab selle täielikult kolmnurga punkte sisaldav poolring; sel juhul ülemine poolring.

Pange tähele ka seda, et Thalesi teise teoreemi abil saadud parempoolses kolmnurgas jaguneb hüpotenus kaheks võrdseks osaks OA ja OC (raadius). See omakorda on võrdne segmendiga OB (ka raadius), mis vastab kolmnurga ABC mediaanile B.

Teiste sõnadega, parempoolse kolmnurga ABC mediaani pikkus, mis vastab tipule B, on täielikult kindlaks määratud poole hüpotenuse poolt. Tuletame meelde, et kolmnurga mediaan on segmend ühest tipust teise poole keskpunktini; sel juhul BO segment.

Piiratud ümbermõõt

Teine võimalus Thalesi teise teoreemi nägemiseks on ringi, mis on piiratud parempoolse kolmnurgaga.

Üldiselt koosneb polügooniga ümbritsetud ring ringist, mis läbib iga selle tipu, kui seda on võimalik jälgida.

Thalesi teise teoreemi abil, võttes arvesse õiget kolmnurka, saame alati ehitada selle ümber piiritletud ringi, mille raadius on võrdne poolega hüpotenuusist ja ümbermõõt (ümbermõõdu keskpunkt), mis on võrdne hüpotenuse keskpunktiga.

Rakendus

Teiste Teoreemide väga oluline rakendamine ja võib-olla kõige kasutatavam on leida antud ümbermõõdu puutujajoon, punktist P, mis on sellest väljaspool (teada).

Pange tähele, et antud ümbermõõt (joonisel joonisel kujutatud sinine) ja välimine punkt P, on kaks liini, mis puutuvad läbi ümbermõõdu, mis läbib P-d. Olgu T ja T 'puutepunktid, r ümbermõõdu raadius ja Või keskus.

On teada, et segment, mis läheb ringi keskelt selle puutepunktini, on selle puutujajoone suhtes risti. Seejärel on OTP nurk sirge.

Thalesi esimese teoreemi ja selle erinevate versioonide varasemast nägemisest näeme, et OTP kolmnurga on võimalik teisele ümbermõõdule lisada (punane).

Analoogselt saadakse, et OT'P kolmnurga võib sisestada sama eelmise ümbermõõdu piiresse.

Thalesi teise teoreemi järgi saame ka, et selle uue ümbermõõdu läbimõõt on täpselt kolmnurga OTP hüpoteenus (mis on võrdne kolmnurga OT'P hüpotenuusiga) ja keskpunkt on selle hüpotenuse keskpunkt..

Uue ümbermõõdu keskpunkti arvutamiseks piisab sellest, kui arvutada keskpunkti keskpunkti - näiteks M - algse ümbermõõdu (mida me juba teame) ja punkti P (mida me ka teame) vahel. Seejärel on raadius selle punkti M ja P vaheline kaugus.

Punase ringi raadiusega ja keskpunktiga leiame selle Cartesiuse võrrandi, mida me mäletame (x-h)2 + (y-k)2 = c2, kus c on raadius ja punkt (h, k) on ringi keskpunkt.

Teades nüüd mõlema ümbermõõdu võrrandeid, saame neid ristata, lahendades nende poolt moodustatud võrrandite süsteemi ja saades seega puutuja T ja T 'punktid. Lõpuks, et teada saada puutujaid, piisab, kui leida T ja P läbivate sirgjoonte võrrand ja T 'ja P.

Näide

Vaatleme läbimõõdu AC, keskosa O ja raadiusega 1 cm. Olgu B punkt ümbermõõdul, et AB = AC. Kui palju AB mõõdab?

Lahendus

Thalesi teise teoreemi järgi on kolmnurk ABC ristkülik ja hüpoteenus vastab läbimõõdule, mis antud juhul on 2 cm (raadius on 1 cm). Seejärel peame Pythagori teoreemi järgi:

Viited

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Geomeetria ja trigonomeetria. Zapopan, Jalisco: Threshold Editions.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Matemaatika metoodika ja rakendused E.S.O. Haridusministeerium.
  4. IGER. (2014). Matemaatika Teine semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matemaatika 2. Zapopan, Jalisco: Threshold Editions.
  6. M., S. (1997). Trigonomeetria ja analüütiline geomeetria. Pearson Education.
  7. Pérez, M. A. (2009). Matemaatika ajalugu: väljakutsed ja vallutused nende tegelaste kaudu. Redigeerimise visiooniraamatud.
  8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Lame analüütiline geomeetria. Venezuela juhataja C. A.