Moivre'i teoreem, mis sisaldab, demonstreerimist ja lahendatud harjutusi

The Moivre teoreem rakendab algebra põhiprotsesse, nagu volitused ja juurte väljavõtmine keerulistes numbrites. Teoreemi sõnastas tuntud prantsuse matemaatik Abraham de Moivre (1730), kes seostas keerulisi numbreid trigonomeetriaga.

Abraham Moivre tegi selle seose rinna ja kosinuse väljenduste kaudu. See matemaatik genereeris sellist valemit, mille kaudu on võimalik suurendada kompleksi arvu z võimsusele n, mis on positiivne täisarv, mis on suurem või võrdne 1-ga..

Indeks

• 1 Mis on Moivre'i lause??
• 2 Demonstreerimine
  • 2.1 Induktiivne alus
  • 2.2 Induktiivne hüpotees
  • 2.3 Kontrollimine
  • 2.4 Negatiivne täisarv
• 3 Harjutused lahendatud
  • 3.1 Positiivsete volituste arvutamine
  • 3.2 Negatiivsete volituste arvutamine
• 4 Viited

Mis on Moivre'i lause??

Moivre teoreem ütleb järgmist:

Kui teil on polaarses vormis kompleksarv, siis z = r_Ɵ, kus r on kompleksi numbri z moodul ja nurk Ɵ nimetatakse mis tahes kompleksarvu amplituudiks või argumendiks 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, selle n-i võimsuse arvutamiseks ei ole vaja seda korrutada ise n-korda; see tähendab, et ei ole vaja teha järgmist toodet:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-korda.

Vastupidi, teoreem ütleb, et z kirjutamisel trigonomeetrilises vormis jätkame n-i võimsuse arvutamiseks järgmist:

Kui z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) siis zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Näiteks kui n = 2, siis z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Kui teil on see n = 3, siis z³ = z² _* z. Lisaks:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Sel viisil saab saavutada sinuse ja kosiini trigonomeetrilised suhted nurga korduste korral, kui on teada nurga trigonomeetrilised suhted..

Samamoodi saab seda kasutada täpsemate ja vähem segadust tekitavate väljendite leidmiseks kompleksi numbri n n juure jaoks, nii et zⁿ = 1.

Moivre teoreemi demonstreerimiseks kasutatakse matemaatilise induktsiooni põhimõtet: kui täisarvul "a" on omadus "P" ja kui ükskõik millisel täisarvul "n" on suurem kui "a", millel on omadus "P", on rahuldab, et n + 1 omab ka omadust "P", siis on kõik täisarvud, mis on suuremad või võrdsed "a" omaga "P".

Demonstreerimine

Sel viisil tehakse teoreemi tõendusmaterjal järgmiste sammudega:

Induktiivne alus

Esimene kontroll n = 1 korral.

Nagu z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], meil on see, et n = 1 puhul on teoreem täidetud.

Induktiivne hüpotees

Eeldatakse, et valem kehtib mõnede positiivsete täisarvude puhul, st n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Kontrollimine

See on tõestatud n = k + 1 puhul.

Nagu z^{k + 1}= z^k _* z, siis z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Seejärel korrutatakse väljendeid:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Hetkeks ignoreeritakse r-tegurit^{k + 1},  ja ühine tegur i eemaldatakse:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Kuidas i² = -1, asendame selle väljendiga ja saame:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Nüüd tellitakse reaalne ja kujuteldav osa:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Väljendamise lihtsustamiseks kasutatakse kosiniini ja siinuse nurkade summa trigonomeetrilisi identiteete, mis on:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = patt A _* cos B - cos A _* cos B.

Sellisel juhul on muutujad nurgad Ɵ ja kƟ. Trigonomeetrilisi identiteete kasutades on meil:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Sel viisil jääb väljend:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Seega võib näidata, et tulemus on tõene n = k + 1 puhul. Matemaatilise induktsiooni põhimõttega järeldatakse, et tulemus kehtib kõigi positiivsete täisarvude kohta; see tähendab, et n ≥ 1.

Kogu negatiivne

Moivre teoreemi rakendatakse ka siis, kui n ≤ 0. Mõtle negatiivsele täisarvule n; siis "n" võib kirjutada kui "-m", st n = -m, kus "m" on positiivne täisarv. Seetõttu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Eksponendi "m" positiivseks saamiseks kirjutatakse väljend vastupidiselt:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Nüüd kasutatakse, et kui z = a + b * i on keeruline number, siis 1 ÷ z = a-b * i. Seetõttu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Kasutades cos (x) = cos (-x) ja -sen (x) = sin (-x), peame:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Sel moel võime öelda, et teoreem kehtib kõigi "n" täisarvude väärtuste kohta..

Lahendatud harjutused

Positiivsete volituste arvutamine

Üks keerukate numbrite operatsioonidest polaarses vormis on nende kahe korrutamine; sel juhul korrutatakse mooduleid ja lisatakse argumendid.

Kui teil on kaks kompleksi numbrit z₁ ja z₂ ja soovite arvutada (z₁* z₂)², Seejärel toimime järgmiselt:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ.)₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ.)₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Jaotusväärtust rakendatakse:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ.)_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Need on rühmitatud, võttes väljendit "i" väljendite ühiseks teguriks:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Kuidas i² = -1, asendatakse väljendiga:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Reaalsed mõisted rühmitatakse reaalse ja kujuteldava kujutlusega:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Lõpuks rakendatakse trigonomeetrilisi omadusi:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Kokkuvõtteks:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Harjutus 1

Kirjutage kompleksi number polaarses vormis, kui z = - 2 -2i. Seejärel arvutage Moivre teoreemi järgi z⁴.

Lahendus

Kompleksi number z = -2 -2i väljendatakse ristkülikukujulises vormis z = a + bi, kus:

a = -2.

b = -2.

Teades, et polaarne vorm on z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), peate määrama "r" mooduli väärtuse ja argumenti "Ɵ" väärtuse. Kui r = √ (a² + b²), asendatakse antud väärtused:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Seejärel kasutatakse "value" väärtuse määramiseks selle ristkülikukujulist vormi, mille annab valem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Nagu tan (Ɵ) = 1 ja peate<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kuna "r" ja "Ɵ" väärtus oli juba saavutatud, saab kompleksi arvu z = -2 -2i väljendada polaarses vormis, asendades väärtused:

z = 2 2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4)).

Nüüd kasutatakse Moivre teoreemi arvutamiseks z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5) + i _* sen (5Π)).

Harjutus 2

Leidke kompleksarvude toode, väljendades seda polaarses vormis:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Seejärel arvutage (z1 * z2) ².

Lahendus

Kõigepealt moodustatakse antud numbrite toode:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100)^o + i_* 100 sen^o)]

Seejärel korrutage moodulid kokku ja lisage argumendid:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50)^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Väljend on lihtsustatud:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Lõpuks rakendatakse Moivre teoreemi:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Negatiivsete volituste arvutamine

Kahe kompleksarvu jagamiseks z₁ ja z₂ polaarses vormis moodul on jagatud ja argumendid lahutatakse. Seega on teguriks z₁ ÷ z₂ ja see on väljendatud järgmiselt:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Nagu eelmisel juhul, kui soovite arvutada (z1 ÷ z2) ³ kõigepealt, siis jaguneb ja seejärel kasutatakse Moivre teoreemi..

Harjutus 3

Arvestades:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

arvutada (z1 ÷ z2) ³.

Lahendus

Eespool kirjeldatud samme järgides võib järeldada, et:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Viited

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Moivre teoreetilisest trig-identiteedist. Wolframi tutvustuste projekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matemaatika entsüklopeedia.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra ja trigonomeetria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineaarne algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.