Eukleidide teoreemide valemid, demonstreerimine, rakendamine ja harjutused

The Eukleidese teoreem demonstreerib parempoolse kolmnurga omadusi joonestades joone, mis jagab selle kaheks uueks paremaks kolmnurgaks, mis on üksteisega sarnased ja omakorda sarnanevad algse kolmnurgaga; siis on olemas proportsionaalsuse seos.

Euklid oli üks suurimaid matemaatikuid ja geomeetreid, kes tegid mitmeid olulisi teoreeme. Üks peamisi on see, mis kannab tema nime, millel on olnud laialdane rakendus.

See on nii, sest selle teoreemi kaudu selgitab see lihtsal viisil õiget kolmnurka olemasolevaid geomeetrilisi suhteid, kus selle jalad on seotud nende prognoosidega hüpotenuusis.

Indeks

• 1 Valemid ja demonstratsioon
  • 1.1 Kõrguse teoreem
  • 1.2 Jalgade teoreem
• 2 Eukleidide teoreemide seos
• 3 Harjutused lahendatud
  • 3.1 Näide 1
  • 3.2 Näide 2
• 4 Viited

Valemid ja demonstratsioon

Eukleidese teoreem teeb ettepaneku, et igal parempoolsel kolmnurgal, kui joon on joonistatud, mis esindab kõrgust, mis vastab hüpoteenuse suhtes õige nurga tipule, moodustatakse originaalist kolm paremat kolmnurka..

Need kolmnurgad on üksteisega sarnased ja sarnanevad ka esialgse kolmnurgaga, mis tähendab, et nende sarnased küljed on üksteisega proportsionaalsed:

Kolme kolmnurga nurgad on võrdsed; see tähendab, et pöörates 180 kraadi oma tippu, langeb nurk teisele. See tähendab, et kõik on võrdsed.

Sel moel saab kontrollida ka nende kolmnurkade vahelist sarnasust nende nurkade võrdsuse alusel. Kolmnurga sarnasusest tulenevalt määrab Euklid nende osakaalud kahe teoreemi järgi:

- Kõrguse teoreem.

- Jalgade teooria.

Sellel teoreemil on lai rakendus. Antiikajast kasutati seda kõrguste või vahemaade arvutamiseks, mis kujutab endast trigonomeetria jaoks suurt edasiminekut.

Praegu rakendatakse seda mitmetes muudes valdkondades, mis põhinevad matemaatikal, nagu inseneriteadused, füüsika, keemia ja astronoomia..

Kõrguse teoreem

See teoreem ütleb, et mis tahes parempoolses kolmnurgas on hüpoteenuse suhtes õige nurga alt tõmmatud kõrgus geomeetriline proportsionaalne keskmine (kõrguse ruut) jalgade väljaulatuvate osade vahel, mis määrab hüpotenuse..

See tähendab, et kõrguse ruut on võrdne hüpoteenuse moodustavate projitseeritud jalgade korrutamisega:

h_c² = m _* n

Demonstreerimine

Arvestades kolmnurka ABC, mis on tipu C ristkülik, kõrguse kahekordistamisel genereeritakse kaks sarnast parempoolset kolmnurka, ADC ja BCD; seetõttu on nende vastavad pooled proportsionaalsed:

Nii, et kõrgus h_c mis vastab segmendi CD-le, vastab hüpotensioonile AB = c, seega peame:

See vastab omakorda:

Hüpoteenuse puhastamine (h_c), et mitmekordistada võrdõiguslikkuse kahte liiget, peate:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Seega annab hüpotenuse väärtuse:

Jalgade teooria

See teoreem ütleb, et mis tahes parempoolses kolmnurgas on iga jala mõõt geomeetriline proportsionaalne keskmine (iga jala ruut) hüpotenuse mõõtmise (täielik) ja iga selle projektsiooni vahel:

b² = c _* m

a² = c_* n

Demonstreerimine

Arvestades kolmnurka ABC, mis on ristkülik tipus C nii, et selle hüpotenus on c, kõrguse (h) joonistamisel määratakse jalgade a ja b eendid, mis on vastavalt segmendid m ja n. hüpotenuus.

Seega on meil, et paremal kolmnurga ABC kõrgus tekitab kaks sarnast parempoolset kolmnurka, ADC ja BCD, nii et vastavad küljed on proportsionaalsed, nagu see:

DB = n, mis on CB jala projektsioon hüpotenuusile.

AD = m, mis on kateetri AC projektsioon hüpotenuusile.

Siis määratakse hüpotensioon c tema projektsioonide jalgade summa järgi:

c = m + n

Kolmnurkade ADC ja BCD sarnasuse tõttu peame:

Ülaltoodud on sama, mis:

Lõigu "a" kustutamisel kahe võrdõiguslikkuse liikme korrutamiseks tuleb:

a _* a = c _* n

a² = c _* n

Seega annab jala "a" väärtus:

Sarnaselt peame kolmnurga ACB ja ADC sarnasuse tõttu:

Ülaltoodud on võrdne:

Lõigu "b" kahekordistamiseks kahele võrdõiguslikkuse liikmele tuleb:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Seega annab jala "b" väärtus:

Eukleidide teoreemide seos

Teoreemid, mis viitavad kõrgusele ja jalgadele, on üksteisega seotud, sest mõlema mõõt on tehtud parempoolse kolmnurga hüpotenuse suhtes.

Eukleidese teoreemide kaudu võib leida ka kõrguse väärtuse; see on võimalik m ja n väärtuste kustutamisel jala teoreemist ja need asendatakse kõrguse teoreemis. Sel moel võrdub kõrgus jalgade korrutamisega, jagatuna hüpotenuusiga:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

a² = c _* n

n = a² ÷ c

Kõrguse teoreemil asendatakse m ja n:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* a²) ÷ c

Lahendatud harjutused

Näide 1

Arvestades kolmnurka ABC, ristkülik A, määrake AC ja AD mõõt, kui AB = 30 cm ja BD = 18 cm

Lahendus

Sellisel juhul mõõdetakse ühe projitseeritud jala (BD) ja ühe kolmnurga (AB) ühe jala mõõtmisi. Nii saate BC-jala väärtuse leidmiseks kasutada jalgteoreemi.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD-kateti väärtuse võib leida, teades, et BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nüüd on võimalik määrata kateti AC väärtus, rakendades jällegi jala teoreemi:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 001600 = 40 cm

Kõrguse (AD) väärtuse määramiseks rakendatakse kõrguse teoreemi, kuna projitseeritud jalgade CD ja BD väärtused on teada:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Näide 2

Määrake Nn kolmnurga NN kõrguse (h) väärtus, teades segmentide mõõtmisi:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Lahendus

Teil on üks hüpoteesil (PM) projitseeritud jalad, samuti algse kolmnurga jalgade mõõtmine. Sel viisil saab jala teoreemi kasutada teise projitseeritud jala (LN) väärtuse leidmiseks:

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Nagu me juba teame jalgade ja hüpotenuse väärtust, saab kõrguse ja jalgade teoreemide suhte abil määrata kõrguse väärtuse:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* a²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100. \ t _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Viited

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktsioonid ja imelikud asjad. Majanduskultuuri Fond.
2. Cabrera, V. M. (1974). Kaasaegne matemaatika, 3. köide.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. aasta matemaatika Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R. P. (1886). Eukleidide geomeetria elemendid.
6. Guardeño, A. J. (2000). Matemaatika pärand: Euklidist Newtonini, geeniused läbi tema raamatute. Sevilla ülikool.