Chebyshovi teoreem, mida see koosneb, rakendused ja näited



The Chebyshovi teoreem (või Chebyshovi ebavõrdsus) on tõenäosuse teooria üks olulisemaid klassikalisi tulemusi. See võimaldab hinnata juhusliku muutuja X puhul kirjeldatud sündmuse tõenäosust, andes meile mõõtme, mis ei sõltu juhusliku muutuja jaotusest, vaid X variatsioonist.

Teoreem on nime saanud Vene matemaatiku Pafnuty Chebyshovi järgi (kirjutatud ka kui Chebychev või Tchebycheff), kes, hoolimata sellest, et see teoreem oli esimene, oli esimene, kes andis 1867. aastal meeleavalduse.

Seda ebavõrdsust või neid, mida nende omaduste järgi nimetatakse Chebyshovi ebavõrdsuseks, kasutatakse peamiselt tõenäosuste ligikaudseks arvutamiseks..

Indeks

  • 1 Mis see koosneb??
  • 2 Rakendused ja näited
    • 2.1
    • 2.2 Piiriteoreemide demonstreerimine
    • 2.3 Proovi suurus
  • 3 Ebavõrdsus tüüp Chebyshov
  • 4 Viited

Mis see koosneb??

Tõenäosusteooria uurimisel juhtub, et kui me teame juhusliku muutuja X jaotusfunktsiooni, saame arvutada selle eeldatava väärtuse - või matemaatilise ootuse E (X) - ja selle variatsiooni Var (X) nii kaua, kui nimetatud summad on olemas. Vastastikune ei ole siiski tingimata õige.

See tähendab, et E (X) ja Var (X) tundmine ei ole tingimata võimalik saada X-i jaotusfunktsiooni, nii et teatud k> 0 jaoks on sellised kogused nagu P (| X |> k) väga raske saada. Kuid tänu Chebyshovi ebavõrdsusele on võimalik hinnata juhusliku muutuja tõenäosust.

Chebyshovi teoreem ütleb meile, et kui meil on juhusliku muutuja X tõenäosusfunktsiooniga p, ja kui k> 0, siis:

Rakendused ja näited

Chebyshovi teoreemi paljude rakenduste hulgas võib mainida järgmist:

Tõenäosuste piiramine

See on kõige tavalisem rakendus ja seda kasutatakse P (| X-E (X) | ≥k) ülemise piiri andmiseks, kus k> 0, ainult variatsiooniga ja juhusliku muutuja X ootusega, teadmata tõenäosusfunktsiooni.

Näide 1

Oletame, et ühe nädala jooksul ettevõttes toodetud toodete arv on juhuslik muutuja, mille keskmine on 50.

Kui me teame, et tootmise nädala variatsioon on võrdne 25-ga, siis mida me võime öelda selle tõenäosuse kohta, et sel nädalal erineb toodang keskmisest rohkem kui 10-st?

Lahendus

Chebyshovi ebavõrdsuse rakendamisel peame:

Sellest saame teada, et tõenäosus, et tootmise nädalal ületab artiklite arv keskmiselt rohkem kui 10, on maksimaalselt 1/4.

Piiriteoreemide demonstreerimine

Chebyshovi ebavõrdsusel on oluline roll kõige olulisemate piiritegurite demonstreerimisel. Näiteks on meil järgmised andmed:

Nõrk suurte seaduste seadus

See seadus näeb ette, et sõltumatu juhuslike muutujate järjestusega X1, X2, ..., Xn, ..., millel on sama keskmine jaotus E (Xi) = μ ja varianss Var (X) = σ2, ja teadaoleva keskmise valimi põhjal:

Seejärel tuleb k> 0 korral:

Või võrdselt:

Demonstreerimine

Kõigepealt võtke meeles järgmist:

Kuna X1, X2, ..., Xn on sõltumatud, järeldub sellest, et:

Seetõttu on võimalik kinnitada järgmist:

Siis, kasutades Chebyshovi teoreemi, peame:

Lõpuks, teoreem tuleneb asjaolust, et parempoolne piir on null, kui n kipub lõpmatuseni.

Tuleb märkida, et see test viidi läbi ainult juhul, kui Xi variatsioon on olemas; see tähendab, et see ei erine. Seega täheldame, et teoreem on alati õige, kui E (Xi) on olemas.

Chebyshovi piiritegur

Kui X1, X2, ..., Xn, ... on sõltumatute juhuslike muutujate järjestus, nii et on olemas mõni C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstreerimine

Kuna variatsioonide järjestus on ühtlaselt piiratud, on meil kõigil loomulikel n-del Var (Sn) ≤ C / n. Kuid me teame, et:

Tehes n-i lõpmatuse suunas, ilmuvad järgmised tulemused:

Kuna tõenäosus ei tohi ületada väärtust 1, saadakse soovitud tulemus. Selle lause tulemusena võiksime mainida Bernoulli konkreetset juhtumit.

Kui katse korratakse n korda sõltumatult kahe võimaliku tulemusega (ebaõnnestumine ja edu), kus p on iga katse õnnestumise tõenäosus ja X on saadud juhuslike muutujate arv, siis iga k> 0 kohta sa pead:

Proovi suurus

Variatsiooniga seoses võimaldab Chebyshovi ebavõrdsus leida proovi suuruse n, mis on piisav tagamaks, et tõenäosus, et | Sn-μ |> = k esineb, on nii väike kui soovitakse, mis võimaldab meil olla ligikaudne keskmisele.

Täpsemalt, laske X1, X2, ... Xn olla sõltumatu juhuslike muutujate suurus, mis on suurusega n, ja oletagem, et E (Xi) = μ ja selle variatsioon σ2. Siis peame Chebysovi ebavõrdsuse tõttu:

Näide

Oletame, et X1, X2, ... Xn on sõltumatu juhuslike muutujate näidis koos Bernoulli jaotusega, nii et nad võtavad väärtuse 1 tõenäosusega p = 0,5.

Milline peaks olema proovi suurus, et oleks võimalik tagada, et tõenäosus, et erinevus aritmeetilise keskmise Sn ja selle eeldatava väärtuse vahel (üle 0,1) on väiksem või võrdne 0. 01?

Lahendus

Meil on see E (X) = μ = p = 0,5 ja see Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Chebyshovi ebavõrdsuse eest peame iga k> 0 puhul:

Nüüd, võttes k = 0,1 ja δ = 0,01, peame:

Sel viisil jõutakse järeldusele, et vähemalt 2500 suuruse valimi suurus on vajalik selleks, et tagada sündmuse tõenäosus - Sn - 0,5 |> = 0,1 on väiksem kui 0,01.

Ebavõrdsus tüüp Chebyshov

Chebyshovi ebavõrdsusega seotud erinevused on erinevad. Üks tuntumaid on Markovi ebavõrdsus:

Selles väljendis on X mitte-negatiivne juhuslik muutuja k, r> 0-ga.

Markovi ebavõrdsus võib olla erinev. Näiteks olgu Y negegatiivne juhuslik muutuja (nii et P (Y> = 0) = 1) ja oletame, et E (Y) = μ eksisteerib. Oletame ka seda (E (Y))r= μr on olemas terve täisarvu r> 1 korral. Seejärel:

Teine ebavõrdsus on Gauss'i ebavõrdsus, mis ütleb meile, et unimodaalne juhuslik muutuja X on režiimis nullil, siis k> 0,

Viited

  1. Kai Lai Chung Elementaarne teostatavuse teooria stohhastiliste protsessidega. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskreetne matemaatika ja selle rakendused. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tõenäosus ja statistilised rakendused. S.A. MEXIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 diskreetne matemaatika lahendatud probleemid. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tõenäosuse teooria ja probleemid. McGRAW-HILL.