Bolzano teoreem selgitus, rakendused ja harjutused lahendati

The Bolzano teoreem tuvastab, et kui funktsioon on suletud intervalli [a, b] kõigis punktides pidev ja on veendunud, et pildil "a" ja "b" (funktsiooni all) on vastupidised märgid, siis on vähemalt üks punkt "C" avatud intervallis (a, b) nii, et funktsioonis "c" hinnatud funktsioon on võrdne 0-ga.

Seda teemat esinesid filosoof, teoloog ja matemaatik Bernard Bolzano 1850. aastal. See tänapäeva Tšehhi Vabariigis sündinud teadlane oli üks esimesi matemaatikuid ajaloos, et näidata ametlikult pidevate funktsioonide omadusi.

Indeks

• 1 Selgitus
• 2 Demonstreerimine
• 3 Mis see on??
• 4 Harjutused lahendatud
  • 4.1 Harjutus 1
  • 4.2 Harjutus 2
• 5 Viited

Selgitus

Bolzano teoreem on tuntud ka kui vahe-väärtuste teoreem, mis aitab kindlaks määrata reaalse muutuja teatud reaalsete funktsioonide konkreetseid väärtusi, eriti nullid.

Antud funktsioonis f (x) jätkub, see tähendab, et f (a) ja f (b) on ühendatud kõveraga, kus f (a) on x-telje all (on negatiivne) ja f (b) on x-telje kohal (see on positiivne) või vastupidi, graafiliselt on x-teljel graafiliselt lõigatud punkt, mis esindab vahe-väärtust "c", mis jääb "a" ja "b" vahel ning f (c) väärtus. on võrdne 0-ga.

Bolzano teoreemi graafiliselt analüüsides võime teada, et iga funktsiooni f puhul, mis on defineeritud intervalliga [a, b], kus f (a)_*f (b) on väiksem kui 0, selle funktsiooni intervallis (a, b) on vähemalt üks juur "c".

See teoreem ei määra selles avatud intervallis olemasolevate punktide arvu, vaid ütleb, et on vähemalt 1 punkt.

Demonstreerimine

Bolzano teoreemi tõestamiseks eeldatakse, et f (a) < 0 y f(b) > 0; sel viisil võib "a" ja "b" vahel olla palju väärtusi, mille puhul f (x) = 0, kuid peate ainult näitama, et on üks.

Alusta hindamisega f keskpunktis (a + b) / 2. Kui f ((a + b) / 2) = 0, siis test lõpeb siin; vastasel juhul on f ((a + b) / 2) positiivne või negatiivne.

Valitakse intervall [a, b] üks pool, nii et otstes hinnatud funktsiooni märgid on erinevad. See uus intervall on [a1, b1].

Nüüd, kui f on [a1, b1] keskpunktis hinnanguliselt null, siis teostatakse sama operatsioon kui enne; see tähendab, et valitakse pool sellest intervallist, mis vastab märkide olukorrale. Ole see uus intervall [a2, b2].

Kui seda protsessi jätkatakse, siis võetakse kaks järjestust an ja bn, nii et:

a kasvab ja bn väheneb:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Kui arvutate iga intervalli [ai, bi] pikkuse, peate:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Seega, kui n kaldub (bn-an) lõpmatuse piirini, on see võrdne 0-ga.

Kasutades seda a suureneb ja piiratakse ning bn väheneb ja piirneb, peab olema väärtus "c", mis:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Piirang an on "c" ja piiriks bn on ka "c". Seega, arvestades mis tahes δ> 0, on alati "n" nii, et intervall [an, bn] on vahemikus (c-δ, c + δ).

Nüüd tuleb näidata, et f (c) = 0.

Kui f (c)> 0, siis kuna f on pidev, siis on ε> 0, nii et f on positiivne kogu intervallis (c-e, c + ε). Kuid nagu eelpool mainitud, on olemas väärtus "n" nii, et f muutub märkides [an, bn] ja lisaks on [an, bn] sees (c-e, c + ε), mis on vastuolu.

Kui f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 nii, et f on kogu intervallis (c-e, c + ε) negatiivne; kuid on olemas väärtus "n", nii et f muutub [an, bn] sisse. Selgub, et [an, bn] on (c-ε, c + ε) sees, mis on ka vastuolu.

Seega, f (c) = 0 ja see, mida me tahtsime näidata.

Mis see on??

Oma graafilisest tõlgendusest kasutatakse Bolzano teoreemi, et leida juured või nullid pidevas funktsioonis läbi bisection (lähendamise), mis on inkrementaalne otsingumeetod, mis jagab intervallid alati 2-ks.

Siis võtke intervall [a, c] või [c, b], kus märk muutub, ja korrake protsessi, kuni intervall on väiksem ja väiksem, et saaksite läheneda soovitud väärtusele; see tähendab väärtust, mida funktsioon teeb 0.

Kokkuvõtteks võib öelda, et Bolzano teoreemi rakendamiseks ja seega juurte leidmiseks, funktsiooni nullide piiritlemiseks või võrrandi lahendamiseks tehakse järgmised sammud:

- Kontrollitakse, kas f on pidev funktsioon vahemikus [a, b].

- Kui intervalli ei esitata, tuleb leida, kus funktsioon on pidev.

- Kontrollitakse, kas intervalli äärmused annavad f-väärtuse hindamisel vastupidiseid märke.

- Kui vastupidiseid märke ei saada, tuleb intervall jaotada kaheks alamintervalli keskpunktiks.

- Hinnake funktsiooni keskpunktis ja kontrollige, kas Bolzano hüpotees on täidetud, kus f (a) _* f (b) < 0.

- Sõltuvalt leitud väärtuse märgist (positiivsest või negatiivsest) korratakse protsessi uue alamintervalliga, kuni nimetatud hüpotees on täidetud.

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Määrake, kas funktsioon f (x) = x² - 2, on vähemalt üks reaalne lahendus vahemikus [1,2].

Lahendus

Meil on funktsioon f (x) = x² - 2. Kuna tegemist on polünoomiga, tähendab see, et see on pidev igas intervallis.

Teil palutakse kindlaks teha, kas teil on intervallis [1, 2] reaalne lahendus, nii et nüüd on vaja vahetada ainult intervalli otsad, et teada saada nende tähist ja teada, kas nad vastavad erineva oleku tingimustele:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatiivne)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiivne)

Seetõttu on tähis f (1) f märk f (2).

See tagab vähemalt ühe punkti "c", mis kuulub intervallile [1,2], kus f (c) = 0.

Sel juhul saab "c" väärtust kergesti arvutada järgmiselt:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Seega kuulub √2 ≈ 1,4 intervallile [1,2] ja vastab sellele, et f (√2) = 0.

Harjutus 2

Toesta, et võrrand x⁵ + x + 1 = 0 omab vähemalt ühte reaalset lahendust.

Lahendus

Esmalt märkige, et f (x) = x⁵ + x + 1 on polünoomi funktsioon, mis tähendab, et see on pidev kõigis reaalarvudes.

Sel juhul ei anta intervallid, seega tuleks funktsiooni hindamiseks ja märgi muutmiseks leida väärtused intuitiivselt, eelistatavalt 0-le.

Kui kasutate intervalli [0, 1], peate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Kuna märk puudub, korratakse protsessi teise intervalliga.

Kui kasutate intervalli [-1, 0], peate:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Selles intervallis on tähise muutus: f (-1) ≠ märk f (0), mis tähendab, et funktsioon f (x) = x⁵ + x + 1 intervallis [-1, 0] on vähemalt üks tegelik juur "c", nii et f (c) = 0. Teisisõnu, on tõsi, et x⁵ + x + 1 = 0 on reaalne lahendus vahemikus [-1,0].

Viited

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Inseneride ja üliõpilaste matemaatika juhend ... Toimetus MIR.
2. George, A. (1994). Matemaatika ja meel. Oxfordi ülikooli ajakirjandus.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matemaatiline analüüs Kolmes mahus ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Keskhariduse õpetajad. II köide. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Analüüsi põhiomadused R. Editores, 20. detsember.
6. Piskunov, N. (1980). Diferentseeritud ja integreeritud kalkulatsioon ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Majandusanalüüsi matemaatika. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Pidev sümmeetria: Euklidist Kleinini. American Mathematical Soc.