Minimaalne ruutmeetod, lahendatud harjutused ja mida see teenib



Meetod kõige väiksemad ruudud on üks tähtsamaid rakendusi funktsioonide lähendamisel. Idee on leida selline kõver, et tellitud paaride kogumi tõttu lähendaks see funktsioon andmeid paremini. Funktsioon võib olla rida, ruutkõver, kuupmeetri kõver jne..

Meetodi mõte on minimeerida ordinaatide erinevuste ruut (komponent Y), valitud funktsiooni poolt genereeritud punktide ja andmekogumisse kuuluvate punktide vahel..

Indeks

  • 1 vähimruutude meetod
  • 2 Harjutused lahendatud
    • 2.1 Harjutus 1
    • 2.2 Harjutus 2
  • 3 Mis see on??
  • 4 Viited

Vähimruutude meetod

Enne meetodi andmist peame kõigepealt selgeks tegema, mida tähendab "parem lähenemine". Oletame, et me otsime rida y = b + mx, mis kõige paremini esindab n-punktide kogumit, nimelt (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Nagu on näidatud eelmises joonisel, kui muutujad x ja y olid seotud joonega y = b + mx, siis x = x1 korral oleks y vastav väärtus b + mx1. Kuid see väärtus erineb y tegelikust väärtusest, mis on y = y1.

Tuletame meelde, et tasapinnal on kahe punkti vaheline kaugus järgmise valemiga:

Seda silmas pidades on selleks, et määrata, kuidas valida rida y = b + mx, mis kõige paremini ühtlustab antud andmeid, on mõttekas kasutada joone valikut, mis minimeerib punktide vaheliste vahemaade ruutude kriteeriumi ja sirge.

Kuna punktide (x1, y1) ja (x1, b + mx1) vaheline kaugus on y1- (b + mx1), väheneb meie probleem numbrite m ja b leidmiseks nii, et järgmine summa oleks minimaalne:

Sellele tingimusele vastav rida on tuntud kui "vähimruutude rea lähendamine punktidele (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Kui probleem on lahendatud, peame lihtsalt valima meetodi, et leida kõige väiksemate ruutude lähendamine. Kui punktid (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) on kõik joonel y = mx + b, siis peaksime olema kollektiivsed ja:

Selles väljendis:

Lõpuks, kui punktid ei ole kollektiivsed, siis y-Au = 0 ja probleemi saab tõlkida vektori leidmiseks või nii, et eukleidese norm on minimaalne.

Minimeeriva vektori leidmine ei ole nii raske kui arvate. Kuna A on maatriks nx2 ja u on 2 × 1 maatriks, siis on vektor Au vektor Rn ja see kuulub A pildi hulka, mis on R alamruumn mille mõõtmed ei ole suuremad kui kaks.

Eeldame, et n = 3 näitab, milline on menetlus, mida tuleks järgida. Kui n = 3, on A kujutiseks tasapind või joon, mis läbib päritolu.

Olgu v minimaalne vektor. Joonisel on näha, et y-Au on minimeeritud, kui see on ortogonaalne A kujutise suhtes. See tähendab, et kui v on minimeeriv vektor, siis juhtub, et:

Siis saame sel viisil väljendada nii:

See võib juhtuda ainult siis, kui:

Lõpuks peame v, tühjendama:

Seda on võimalik teha alates AtA on inverteeritav nii kaua, kui andmed, mis on antud kui andmed, ei ole ühised.

Nüüd, kui selle asemel, et otsida rida, siis tahame leida parabooli (mille väljenduseks oleks vorm y = a + bx + cx2) see oli parem n-punktide lähendamine, protseduur oleks allpool kirjeldatud.

Kui n andmepunktid olid nimetatud paraboolis, peaks ta:

Seejärel:

Samamoodi saame kirjutada y = Au. Kui kõik punktid ei ole paraboolis, on meil see, et y-Au erineb nullist mis tahes vektori u puhul ja meie probleem on jällegi: leida vektor u R3-s nii, et selle norm || y-Au || olema võimalikult väike.

Eelmist protseduuri korrates võime jõuda vektorisse, mida otsitakse:

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Leidke rida, mis sobib kõige paremini punktidega (1,4), (-2,5), (3, -1) ja (4,1).

Lahendus

Peame:

Seejärel:

Seetõttu järeldame, et punktidele kõige paremini vastav rida on antud:

Harjutus 2

Oletame, et objekt langeb 200 m kõrgusest. Langedes langetatakse järgmised meetmed:

Me teame, et selle objekti kõrgus pärast aja t möödumist on antud:

Kui soovime saada g väärtust, leiame parabooli, mis on parem tabelis esitatud viie punkti lähendamine, ja seega oleks meil koefitsient, mis kaasneb sellega.2 see on mõistlik ligikaudne (-1/2) g, kui mõõtmised on täpsed.

Peame:

Ja siis:

Seega kohandatakse andmepunkte järgmise ruutkeskmise väljendusega:

Seejärel peate:

See on väärtus, mis on õigele lähedale, mis on g = 9,81 m / s2. G täpsema ühtlustamise saavutamiseks oleks vaja alustada täpsematest tähelepanekutest.

Mis see on??

Loodus- või sotsiaalteadustes esinevate probleemide puhul on mugav kirjutada erinevate muutujate vahelisi suhteid mõne matemaatilise väljenduse abil.

Näiteks saame majandusega seotud kulusid (C), sissetulekut (I) ja kasumit (U) seostada lihtsa valemiga:

Füüsikas võime seostada gravitatsiooni põhjustatud kiirendust, objekti langemise aega ja seaduse kõrgust:

Eelmises väljendis so on selle objekti algkõrgus ja vo on teie algkiirus.

Selliste valemite leidmine ei ole aga lihtne ülesanne; tavaliselt on paljude andmetega töötamise eest vastutav professionaal, kes korduvalt teostab mitmeid katseid (et veenduda, et saadud tulemused on konstantsed), et leida seoseid erinevate andmete vahel..

Üldine viis selle saavutamiseks on tasapinnal saadud andmete esitamine lennukitena ja otsida pidevat funktsiooni, mis läheneb nendele punktidele optimaalselt.

Üks viise, kuidas leida funktsiooni, mis "kõige paremini ühtlustab" antud andmeid, on vähimruutude meetod.

Lisaks, nagu nägime ka harjutuses, saame tänu sellele meetodile saada ligikaudsed lähendused füüsiliste konstandide lähedale.

Viited

  1. Charles W Curtis lineaarne algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementaarne teostatavuse teooria stohhastiliste protsessidega. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden ja J.Douglas Faires. Arvuline analüüs (7-kohaline). Thompsoni õppimine.
  4. Stanley I. Grossman. Lineaarse algebra rakendused. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineaarne algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO