Vector algebra põhitõed, suurused, vektorid



The vektori algebra on matemaatika haru, mis vastutab lineaarsete võrrandite, vektorite, maatriksite, vektoriruumide ja nende lineaarsete muutuste süsteemide uurimise eest. See on seotud selliste valdkondadega nagu inseneritöö, diferentsiaalvõrrandite lahendamine, funktsionaalne analüüs, operatsiooniuuringud, arvutigraafika..

Teine valdkond, mis on lineaarse algebra vastu võtnud, on füüsika, sest selle kaudu on välja töötatud füüsiliste nähtuste uurimiseks, kirjeldades neid vektorite kasutamise kaudu. See on võimaldanud universumi paremat mõistmist.

Indeks

  • 1 Põhialused
    • 1.1 Geomeetriliselt
    • 1.2 Analüütiliselt
    • 1.3 Aksiomatiliselt
  • 2 Suurused
    • 2.1 Scalari suurus
    • 2.2 Vektori suurus
  • 3 Mis on vektorid?
    • 3.1 Moodul
    • 3.2 Aadress
    • 3.3 Mõistus
  • 4 Vektorite klassifikatsioon
    • 4.1 Fikseeritud vektor
    • 4.2 Vaba vektor
    • 4.3 Liugvektor
  • 5 Vektorite omadused
    • 5.1
    • 5.2 Ekvivalentsed vektorid
    • 5.3 Vektorite võrdsus
    • 5.4 Vastassuunalised vektorid
    • 5.5 Ühikvektor
    • 5.6 Null-vektor
  • 6 Vektori komponendid
    • 6.1 Näited
  • 7 Toimingud vektoritega
    • 7.1 Vektorite lisamine ja lahutamine
    • 7.2 Vektorite korrutamine
  • 8 Viited

Põhitõed

Vektori algebra pärineb kvaternioonide uuringust (reaalarvude laiendamine) 1, i, j ja k, samuti Gesbsi ja Heaviside'i edendatud Cartesiuse geomeetriast, kes mõistis, et vektorid toimiksid vahendina esindavad erinevaid füüsilisi nähtusi.

Vektori algebrat uuritakse kolme aluse kaudu:

Geomeetriliselt

Vektorid on esindatud suundadega, millel on orientatsioon, ning sellised toimingud nagu lisamine, lahutamine ja korrutamine reaalarvudega on määratletud geomeetriliste meetodite abil..

Analüütiliselt

Vektorite kirjeldus ja nende toimingud tehakse numbritega, mida nimetatakse komponentideks. Seda tüüpi kirjeldus on geomeetrilise kujutise tulemus, sest kasutatakse koordinaatsüsteemi.

Aksiomatiliselt

Vektoreid kirjeldatakse sõltumata koordinaatide süsteemist või mis tahes tüüpi geomeetrilisest kujutisest.

Arvude uurimine kosmoses toimub nende esindamise kaudu võrdlussüsteemis, mis võib olla ühes või mitmes mõõtmes. Peamised süsteemid on järgmised:

- Ühemõõtmeline süsteem, mis on joon, kus üks punkt (O) esindab päritolu ja teine ​​punkt (P) määrab selle skaala (pikkuse) ja selle suuna:

- Ristkülikukujuline koordinaatide süsteem (kahemõõtmeline), mis koosneb kahest risti asetsevast joonest, mida nimetatakse x-teljeks ja y-teljeks, mis läbivad punkti (O) päritolu; sel viisil jaguneb lennuk neljaks piirkonnaks, mida nimetatakse kvadrantideks. Sel juhul antakse tasapinnal punkt (P) kauguste vahel, mis on telgede ja P vahel.

- Polaarkoordinaatide süsteem (kahemõõtmeline). Sellisel juhul koosneb süsteem punktist O (päritolu), mida nimetatakse poleks ja kiiruseks, mille algus on O polaarne telg. Sellisel juhul on tasapinna punkt P, polaarsele ja polaarsele teljele viidates, nurgaga (Ɵ), mille moodustab kaugus alguse ja punkti P vahel..

- Ristkülikukujuline kolmemõõtmeline süsteem, mille moodustavad kolm risti (x, y, z), millel on kosmoses alguspunkt O. Moodustatakse kolm koordinaat tasandit: xy, xz ja yz; ruum jagatakse kaheksaks piirkonnaks, mida nimetatakse oktaaniks. Ruumi punkti P viide on antud tasandite ja P vaheliste vahemaade järgi.

Suurused

Suurus on füüsiline kogus, mida saab arvutada või mõõta numbrilise väärtuse kaudu, nagu mõnede füüsiliste nähtuste puhul; siiski on sageli vaja neid nähtusi kirjeldada teiste teguritega, mis ei ole numbrilised. Seetõttu on suurused jagatud kahte liiki:

Scalari suurus

Need on need kogused, mis on määratletud ja esindatud numbriliselt; see tähendab moodul koos mõõtühikuga. Näiteks:

a) Aeg: 5 sekundit.

b) Mass: 10 kg.

c) Maht: 40 ml.

d) Temperatuur: 40ºC.

Vektori suurus

Need on need kogused, mida moodul määratleb ja esindab koos üksusega, samuti mõttes ja suunas. Näiteks:

a) Kiirus: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Kiirendus: 13 m / s2; S 45º E.

c) Jõud: 280 N, 120º.

d) Kaal: -40 ĵ kg-f.

Vektori suurused on esitatud vektorite abil graafiliselt.

Mis on vektorid?

Vektorid on vektori suurusega graafilised kujutised; see tähendab, et need on sirgjooned, milles nende lõplik ots on noole ots.

Neid määravad nende moodul või segmendi pikkus, nende mõte, mis on tähistatud noole otsa ja nende suunaga vastavalt sellele joonele, millesse nad kuuluvad. Vektori päritolu tuntakse ka rakenduskohana.

Vektori elemendid on järgmised:

Moodul

See on kaugus algusest vektori lõpuni, mida esindab reaalarv koos ühikuga. Näiteks:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Aadress

See on nurga x-telje (positiivsest) ja vektori vaheline mõõt, samuti kardinaalsed punktid (põhja, lõuna, ida ja lääne).

Mõistus

Selle annab vektori otsas asuv noolepea, mis näitab, kuhu see on suunatud.

Vektorite klassifikatsioon

Üldiselt liigitatakse vektorid järgmiselt:

Fikseeritud vektor

See on see, kelle rakenduspunkt (päritolu) on fikseeritud; see tähendab, et see jääb sideks ruumi punktiga, miks seda selles ei saa ümber paigutada.

Vaba vektor

See võib ruumis vabalt liikuda, sest selle päritolu liigub mistahes punkti, muutmata selle moodulit, mõtet või suunda.

Libistatav vektor

See on see, mis võib oma päritolu liigutada oma tegevussuunda, muutmata selle moodulit, mõtet või suunda.

Vektorite omadused

Vektorite peamised omadused on järgmised:

Ekvipententsed vektorid

Need on need vabad vektorid, millel on sama moodul, suund (või nad on paralleelsed) ja tunnevad, et libisev vektor või fikseeritud vektor.

Ekvivalentsed vektorid

See juhtub siis, kui kahel vektoril on sama aadress (või on paralleelsed), sama mõttes ning vaatamata erinevatele moodulitele ja rakenduspunktidele põhjustavad need samad tagajärjed.

Vektorite võrdsus

Neil on sama moodul, suund ja mõte, kuigi nende lähtepunktid on erinevad, mis võimaldab paralleelset vektorit ennast mõjutamata..

Vastassuunalised vektorid

Need on need, millel on sama moodul ja suund, kuid nende mõte on vastupidine.

Vektoriüksus

See on moodul, mis võrdub seadmega (1). See saadakse vektori jagamise teel selle mooduliga ja seda kasutatakse vektori suuna ja tunde määramiseks kas tasapinnas või ruumis, kasutades baasi või ühikulisi normaliseeritud vektoreid, mis on:

Null-vektor

See on see, mille moodul on 0; see tähendab, et nende päritolupunkt ja äärmuslikud samad punktid langevad kokku.

Vektori komponendid

Vektori komponendid on vektori väljaulatuvate osade väärtused võrdlussüsteemi telgedel; Sõltuvalt vektori lagunemisest, mis võib olla kahe- või kolmemõõtmelisel teljel, saadakse vastavalt kaks või kolm komponenti.

Vektori komponendid on reaalarvud, mis võivad olla positiivsed, negatiivsed või isegi nullid (0).

Seega, kui meil on vektor x, mis on pärit xy (kahemõõtmelise) tasandi ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist, on x-telje projektsioon Āx ja y-telje projektsioon on Āy. Seega ekspresseeritakse vektor selle komponentvektorite summana.

Näited

Esimene näide

Meil on vektor Â, mis algab selle otstest ja koordinaatidest. Seega on vektor  = (Âx; Aja) = (4; 5) cm.

Kui vektor  toimib kolmemõõtmelise kolmnurkse koordinaatide süsteemi (kosmoses) x, y, z, teise punktini (P), siis on selle telgede projektsioonid Āx, Āy ja Āz; seega väljendatakse vektor kolme komponendi vektorite summana.

Teine näide

Meil on vektor Â, mis algab selle otstest ja koordinaatidest. Seega vektor vektor = (Ax; Aja; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektorid, millel on nende ristkülikukujulised koordinaadid, võivad olla väljendatud nende põhivektorite kujul. Selleks tuleb ainult iga koordinaat korrutada selle vastava ühikvektoriga nii, et tasapinna ja ruumi jaoks oleksid nad järgmised:

Tasapinna puhul: Â = Axi + Ajaj.

Ruumi jaoks: Â = Axi + Ajaj + Azk.

Toimingud vektoritega

Seal on palju suurusi, millel on muu hulgas moodul, mõte ja suund, näiteks kiirendus, kiirus, nihkumine, jõud..

Neid rakendatakse erinevates teadusvaldkondades ning nende rakendamiseks on mõnel juhul vaja läbi viia selliseid toiminguid nagu vektorite ja skalaaride lisamine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.

Vektorite lisamine ja lahutamine

Vektorite lisamist ja lahutamist loetakse üheks algebraliseks operatsiooniks, sest lahutamist saab kirjutada summa; näiteks vektorite ja Ē lahutamist võib väljendada järgmiselt:

 - Ē = Ā + (-Ē)

Vektorite lisamise ja lahutamise teostamiseks on erinevaid meetodeid: need võivad olla graafilised või analüütilised.

Graafilised meetodid

Kasutatakse siis, kui vektoril on moodul, mõte ja suund. Selleks koostatakse jooned, mis moodustavad näitaja, mis hiljem aitab saada tulemust. Kõige tuntumate seas on järgmised:

Paralleelmeetod

Kahe vektori lisamiseks või lahutamiseks valitakse koordinaatteljel ühine punkt, mis esindab vektorite lähtepunkti, säilitades selle mooduli, suuna ja suuna..

Seejärel joonistatakse vektorid paralleelselt vektoritega, et moodustada paralleel. Saadud vektor on diagonaal, mis väljub mõlema vektori päritolupunktist paralleelogrammi tipuni:

Kolmnurga meetod

Selles meetodis paigutatakse vektorid üksteise kõrvale, säilitades nende moodulid, juhised ja juhised. Saadud vektor on esimese vektori päritolu liitumine teise vektori otsaga:

Analüütilised meetodid

Geomeetrilise või vektori meetodi abil saate lisada või lahutada kaks või enam vektorit:

Geomeetriline meetod

Kui kaks vektorit moodustavad kolmnurga või paralleelogrammi, saab tulemuseks oleva vektori mooduli ja suuna määrata sinuse ja kosinuse seadustega. Seega on saadud vektori moodul, rakendades kosinuse seadust ja kolmnurga meetodit, antud:

Selles valemis on β nurk vastaspoolele R ja see on võrdne 180º - Ɵ.

Seevastu paralleelogrammi meetodil on saadud vektormoodul:

Saadud vektori suund on antud nurga (a) abil, mis moodustab ühe vektoriga saadud tulemuse.

Sinine seaduse järgi võib vektorite lisamist või lahutamist teha ka kolmnurga või paralleelmeetodi abil, teades, et igas kolmnurgas on küljed nurgakeste rinnaga proportsionaalsed:

Vektori meetod

Seda saab teha kahel viisil: sõltuvalt nende ristkülikukujulistest koordinaatidest või nende põhivektoritest.

Seda saab teha lisades või lahutatavate vektorite ülekandmisega koordinaatide algusesse ja seejärel kõik tasapinda (x, y) või ruumi (x, y) iga telje projektsioonid. ja z); lõpuks lisatakse selle komponendid algebraalselt. Niisiis, lennukiga on see:

Tulemuseks oleva vektori moodul on:

Kuigi ruumi jaoks on:

Tulemuseks oleva vektori moodul on:

Vektori summat tehes rakendatakse mitmeid omadusi, mis on:

- Assotsiatiivne omadus: tulemuseks olev ei muutu, lisades kõigepealt kaks vektorit ja seejärel lisatakse kolmas vektor.

- Kommutatiivne omadus: vektorite järjekord ei muuda saadud tulemust.

- Vektori jaotusomadus: kui skalaari korrutatakse kahe vektori summaga, võrdub see skalaari korrutamisega iga vektori jaoks.

- Scalari jaotusomadus: kui vektor korrutatakse kahe skalaari summana, võrdub see iga skalaari vektori korrutamisega..

Vektorite korrutamine

Vektorite korrutamine või saadus võib toimuda lisamise või lahutamise teel, kuid seda tehes kaotab see füüsilise tähenduse ja seda ei leitud rakendustes peaaegu kunagi. Seetõttu on kõige enam kasutatavad tooted skalaar- ja vektorproduktid.

Scalar toode

Seda tuntakse ka kahe vektori punkttootena. Kui kahe vektori moodulid korrutatakse nende vahel moodustatud väikese nurga kosiiniga, saadakse skalaar. Skalaari toote asetamiseks kahe vektori vahele paigutatakse nende vahele punkt, mis võib olla defineeritud järgmiselt:

Kahe vektori vahelise nurga väärtus sõltub sellest, kas need on paralleelsed või risti; Seega peate:

- Kui vektorid on paralleelsed ja neil on sama tähendus, on kosiin 0º = 1.

- Kui vektorid on paralleelsed ja neil on vastupidised tunded, on kosiin 180º = -1.

- Kui vektorid on risti, siis 90 ° = 0.

Seda nurka võib arvutada ka teades, et:

Skalaari tootel on järgmised omadused:

- Kommutatiivne omadus: vektorite järjekord ei muuda skalaari.

-Jaotusväärtus: kui skalaari korrutatakse kahe vektori summaga, võrdub see skalaari korrutamisega iga vektori jaoks.

Vector toode

Kahe vektori A ja B vektori paljunemine või ristprodukt annab uue vektori C ja seda väljendatakse vektorite vahelise ristiga:

Uuel vektoril on oma omadused. Sel viisil:

- Suund: see uus vektor on tasapinnaga risti, mille määravad algsed vektorid.

- Mõistus: see on määratud parempoolse reegli järgi, kus vektor A pööratakse B suunas, näidates sõrmedega pöörlemise suunda ja pöidla abil tähistatakse vektori mõtet.

- Moodul: määratakse vektorite AxB moodulite korrutamise teel nende vektorite vahelise väikseima nurga siinusega. Seda väljendatakse:

Kahe vektori vahelise nurga väärtus sõltub sellest, kas need on paralleelsed või risti. Seejärel on võimalik kinnitada järgmist:

- Kui vektorid on paralleelsed ja neil on sama tähendus, siis sin 0º = 0.

- Kui vektorid on paralleelsed ja neil on vastassuunalised tunded, on sinine 180º = 0.

- Kui vektorid on risti, siinus 90º = 1.

Kui vektoritoodet väljendatakse oma põhivektoritena, peab see:

Skalaari tootel on järgmised omadused:

- See ei ole kommutatiivne: vektorite järjekord muudab skalaari.

- Jaotusväärtus: kui skalaari korrutatakse kahe vektori summaga, võrdub see skalaari korrutamisega iga vektori jaoks.

Viited

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Lihtne lineaarne regressioon." Loodusmeetodid .
  2. Angel, A. R. (2007). Algne algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr to Vectorial näites. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineaarne algebra ja selle rakendused. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineaarne algebra: Vector ruum. Eukleidiline vektorruum. Alicante ülikool.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineaarne algebra Kodumaa.