Matemaatiline loogika, millised uuringud, tüübid



The matemaatiline loogika või sümboolne loogika on matemaatiline keel, mis sisaldab vajalikke tööriistu, mille abil saab kinnitada või keelata matemaatilise mõtlemise..

On hästi teada, et matemaatikas ei ole ebaselgust. Arvestades matemaatilist argumenti, on see kehtiv või lihtsalt ei ole. See ei saa olla vale ja tõene samal ajal.

Matemaatika konkreetne aspekt on see, et sellel on ametlik ja range keel, mille kaudu saab määratleda põhjenduste kehtivuse. Mis on see, mis muudab teatavad põhjendused või matemaatilised tõendid vaieldamatuks? Just sellest on matemaatiline loogika.

Seega on loogika matemaatika distsipliin, mis vastutab matemaatilise mõtlemise ja meeleavalduste uurimise eest ning annab vahendid, mis võimaldavad tuletada eelmiste avalduste või ettepanekute õiget järeldust.

Selleks kasutatakse ära aksioome ja muid matemaatilisi aspekte, mis töötatakse välja hiljem.

Indeks

  • 1 Päritolu ja ajalugu
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Millised matemaatilised loogilised uuringud?
    • 2.1 Ettepanekud
    • 2.2 Tõde tabelid
  • 3 Matemaatilise loogika tüübid
    • 3.1 Valdkonnad
  • 4 Viited

Päritolu ja ajalugu

Matemaatilise loogika paljude aspektide täpsed kuupäevad on ebakindlad. Kuid enamik selle teema bibliograafiatest näitab selle päritolu iidse Kreekasse.

Aristoteles

Loogika käsitlemise algus on osaliselt omistatud Aristotelesele, kes kirjutas hulk loogikateoseid, mida hiljem kogusid ja arendasid erinevad filosoofid ja teadlased kuni keskajani. Seda võib pidada "vanaks loogikaks".

Siis, mida nimetatakse tänapäeva ajastule, Leibnizile, liikudes sügava sooviga luua matemaatiliselt universaalne keel, ja teised matemaatikud, nagu Gottlob Frege ja Giuseppe Peano, mõjutasid eelkõige matemaatilise loogika arengut suure panusega nende hulgas on Peano aksioomid, mis moodustavad loomulike numbrite hädavajalikud omadused.

Matemaatikud George Boole ja Georg Cantor olid sel ajal ka suurel määral mõjutatud, andes olulise panuse teooria ja tõe tabelites, rõhutades muu hulgas ka Boole'i ​​algebra (George Boole) ja valiku aksioom (George Cantor).

Seal on ka Augustus De Morgan koos tuntud Morgani seadustega, mis kaaluvad keeldumisi, sidemeid, lahknevusi ja tingimusi sümboolse loogika arengu võtmete ja John Venniga kuulsate Venn-diagrammidega.

20. sajandil, umbes 1910–1913, paistavad Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead välja Principia mathematica, raamatute kogum, mis kogub, arendab ja postuleerib mitmeid aksioome ja loogilisi tulemusi.

Millised matemaatilised loogika uuringud?

Ettepanekud

Matemaatiline loogika algab ettepanekute uurimisega. Ettepanek on kinnitus, et ilma igasuguse ebaselguse võib öelda, kas see on tõsi või mitte. Järgnevalt on toodud näiteid:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Aastal 1930 oli Euroopas maavärin.

Esimene on tõeline ettepanek ja teine ​​on vale väide. Kolmas, kuigi on võimalik, et see, kes seda loeb, ei tea, kas see on tõene või kohe, on see avaldus, mida saab kontrollida ja määrata, kui see tõesti juhtus või mitte.

Alljärgnevad on näited, mis ei ole ettepanekud:

  • Ta on blond.
  • 2x = 6.
  • Mängime!
  • Kas sulle meeldib kino?

Esimeses ettepanekus ei ole täpsustatud, kes "ta" on, seega ei saa midagi kinnitada. Teises ettepanekus ei ole täpsustatud, mida tähistab "x". Kui selle asemel öeldi, et 2x = 6 mõne füüsilise numbri x puhul, vastab see sel juhul ettepanekule, tegelikult on see tõsi, sest x = 3 puhul on see täidetud.

Kaks viimast avaldust ei vasta ettepanekule, sest neid ei saa eitada või kinnitada.

Kaks või enam ettepanekut saab kombineerida (või ühendada) tuntud sidekontaktide (või pistikute) abil. Need on:

  • Keeldumine: "See pole vihma".
  • Lahkumine: "Luisa ostis valge või halli koti".
  • Ühendus: "42= 16 ja 2 × 5 = 10 ".
  • Tingimuslik: "Kui sajab, siis ma ei lähe täna pärastlõunal jõusaali".
  • Biconditional: "Ma lähen täna pärastlõunal jõusaali ja ainult siis, kui see ei vihma".

Ettepanekut, millel ei ole ühtegi eelnevat sidet, nimetatakse lihtsaks ettepanekuks (või aatomiks). Näiteks "2 on väiksem kui 4", on lihtne ettepanek. Selliseid ettepanekuid, millel on mõni sidekoht, nimetatakse ühendi ettepanekuteks, näiteks "1 + 3 = 4 ja 4 on paarisarv".

Pakkumiste abil tehtud avaldused on tavaliselt pikad, mistõttu on neid igavesti kirjutada alati nii, nagu oleme seni näinud. Sel põhjusel kasutatakse sümboolset keelt. Ettepanekuid esindavad tavaliselt suured tähed nagu P, Q, R, S, jne Ja sümboolne seos on järgmine:

Nii et

The vastastikune tingimusliku pakkumise

on ettepanek

Ja vastupidi (või kontrapositiivne)

on ettepanek

Tõde tabelid

Teine oluline loogika mõiste on tõde tabelid. Pakkumise tõesväärtused on kaks võimalust, mis on olemas pakkumise jaoks: tõsi (mida tähistatakse V-ga ja selle tõesväärtust öeldakse V-ks) või valet (mida tähistatakse F-ga ja selle väärtust öeldakse see on tõesti F).

Ühendi pakkumise tõesus sõltub eranditult selles esinevate lihtsate ettepanekute tõesväärtustest.

Üldisemaks töötamiseks ei võta me arvesse konkreetseid ettepanekuid, vaid ettepanekulisi muutujaid p, q, r, s, jne, mis esindab kõiki ettepanekuid.

Nende muutujate ja loogiliste ühenduste korral moodustatakse tuntud ettepanekusarnased valemid, nagu on koostatud ühendi avaldused.

Kui iga muutuja, mis ilmneb ettepanekulises valemis, asendatakse ettepanekuga, saadakse kompositsioon.

Allpool on loogiliste ühenduste tõe tabelid:

On olemas ettepanekulisi valemeid, mis saavad oma väärtuste tabelis ainult V väärtust, st nende tõe tabeli viimases veerus on ainult V väärtus. Seda tüüpi valemid on tuntud kui tautoloogia. Näiteks:

Järgnev on valemi tabel

On öeldud, et valem α tähendab loogiliselt teist valemit β, kui α on tõene iga kord, kui β on tõene. See tähendab, et α ja β tõe tabelis on ridadel, kus α on V, β, samuti V. Ainult need read, milles α on V väärtused, on loogilised. :

Järgnev tabel võtab kokku loogilise tähenduse omadused:

On öeldud, et kaks ettepanekulist valemit on loogiliselt samaväärsed, kui nende tõde tabelid on identsed. Loogilise ekvivalendi väljendamiseks kasutatakse järgmist märget:

Järgnevates tabelites on kokkuvõtlikult esitatud loogilise samaväärsuse omadused:

Matemaatilise loogika tüübid

On erinevaid loogika liike, eriti kui arvestada teiste valdkondade pragmaatilist või mitteametlikku loogikat, mis viitab filosoofiale..

Matemaatika osas võiksid loogika liigid kokku võtta järgmiselt:

  • Ametlik või aristotelese loogika (iidne loogika).
  • Propositsiooniline loogika: vastutab kõigi argumentide ja ettepanekute kehtivusega seotud formaalse keele ja sümboolse tähenduse uurimise eest..
  • Sümboolne loogika: keskendub komplektide ja nende omaduste uurimisele, samuti ametliku ja sümboolse keelega ning on tihedalt seotud ettepanekulise loogikaga.
  • Kombinatoorne loogika: üks viimati välja töötatud, sisaldab tulemusi, mida saab algoritmide abil arendada.
  • Loogiline programmeerimine: kasutatakse erinevates pakettides ja programmeerimiskeeles.

Valdkonnad

Valdkondades, mis kasutavad matemaatilist loogikat oma põhjenduste ja argumentide arendamisel hädavajalikul viisil, tõstavad nad esile filosoofiat, setiteooriat, arvuteooriat, konstruktiivseid algebralisi matemaatikaid ja programmeerimiskeeli..

Viited

  1. Aylwin, C. U. (2011). Loogika, komplektid ja numbrid. Mérida - Venezuela: väljaannete nõukogu, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ja Soto, A. (1998). Sissejuhatus numbriteooriasse. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Arvuteooria põhikursus. Põhjamaade ülikool.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kuidas arendada matemaatilist loogilist põhjendust. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Numbriteooria. Redigeerimise visiooniraamatud.