Morgani seadused



LMorgani silmad need on ettepanekuskeemil kasutatavad järelduse reeglid, mis määravad kindlaks, mis on tingitud disjunktsiooni ja ettepanekute või ettepanekuliste muutujate seostamisest. Need seadused määras matemaatik Augustus De Morgan.

Morgani seadused on väga kasulik vahend matemaatilise põhjenduse kehtivuse tõendamiseks. Hiljem üldistati matemaatik George Boole komplektide kontseptsioonis.

See Boole poolt tehtud üldistus vastab täielikult Morgani algsetele seadustele, kuid see on välja töötatud spetsiaalselt kogumite, mitte ettepanekute jaoks. See üldistus on tuntud ka kui Morgani seadused.

Indeks

  • 1 Pakkumise loogika läbivaatamine
    • 1.1
    • 1.2 Ettepanekud
  • 2 Morgani seadused
    • 2.1 Demonstreerimine
  • 3 Komplektid
    • 3.1 Liit, ristmik ja komplekti täiendused
  • 4 Morgani seadused komplektide kohta
  • 5 Viited

Ettepaneku loogika läbivaatamine

Enne Morgani seaduste konkreetset uurimist ja nende kasutamist, on otstarbekas meeles pidada mõningaid ettepanekupõhise loogika põhilisi mõisteid. (Üksikasjalikuma teabe saamiseks vt ettepanekulist loogilist artiklit).

Matemaatilise (või ettepanekulise) loogika valdkonnas on järeldus järeldus, mis saadakse ruumide kogumist või hüpoteesidest. See järeldus koos nimetatud ruumidega annab alust nimeks matemaatiline põhjendus.

Seda põhjendust peab olema võimalik tõendada või eitada; see tähendab, et kõik matemaatilise põhjenduse järeldused või järeldused ei ole õiged.

Fallacy

Väärne järeldus, mis tuleneb teatud eeldustest, mis eeldatakse olevat tõsi, on tuntud kui eksitus. Pettustel on eripära, et nad on õiged, kuid matemaatiliselt ei ole need argumendid.

Propositiivne loogika vastutab täpsete meetodite väljatöötamise ja pakkumise eest, mille abil saab ilma igasuguse ebaselguse matemaatilise põhjenduse valideerida või ümber lükata; see tähendab, et on võimalik järeldada, et ruumid on õiged. Neid meetodeid nimetatakse järelduseeskirjadeks, millest osa kuulub Morgani seadustele.

Ettepanekud

Pakutud loogika põhielemendid on ettepanekud. Ettepanekud on avaldused, mille kohta võib öelda, kas need on kehtivad või mitte, kuid et nad ei saa olla korrektsed ega valed. Selles küsimuses ei tohiks olla ebaselgust.

Nii nagu numbreid saab kombineerida lisamise, lahutamise, korrutamise ja jagamise toimingute kaudu, saab ettepanekuid juhtida tuntud sidekihtide (või ühenduste) abil, mis on loogilised: negatiivsus ((, "ei"), lahkumine (V , "O"), ühendused (Ʌ, "ja"), tingimuslikud (→, "kui ..., siis ...") ja kahekordsed (↔, "jah" ja "ainult").

Üldisemaks töötamiseks võtame konkreetsete ettepanekute kaalumise asemel arvesse ettepanekulisi muutujaid, mis esindavad mis tahes ettepanekuid ja mida tavaliselt tähistatakse väiketähtedega p, q, r, s jne..

Proportsionaalne valem on ettepanekuliste muutujate kombinatsioon mõnede loogiliste sidemete kaudu. Teisisõnu, see on pakutud muutujate koosseis. Neid tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega.

On öeldud, et ettepanekuline valem eeldab loogiliselt teist, kui viimane on õige iga kord, kui esimene on tõsi. Seda tähistab:

Kui kahe loogilise valemiga loogiline sekkumine on vastastikune - see tähendab, et kui eelmine mõju kehtib ka vastupidises suunas, siis on valemid loogiliselt samaväärsed ja seda tähistab

Loogiline samaväärsus on mingi võrdõiguslikkus ettepanekuliste valemite vahel ja võimaldab vajaduse korral asendada teise teise.

Morgani seadused

Morgani seadused koosnevad kahest loogilisest samaväärsusest kahe pakutud vormi vahel, nimelt:

Need seadused võimaldavad eraldada disjunktsiooni või ühenduse eitamist, kui kaasatud muutujate eitamist.

Esimest saab lugeda järgmiselt: disjunktsiooni eitamine on võrdne negatiivsete seostega. Ja teine ​​loeb niisuguseks: seose eitamine on negatiivsuste lahkumine.

Teiste sõnadega, kahe eeltingimusliku muutuja hajutamise eitamine on samaväärne mõlema muutuja negatiivsuse kombinatsiooniga. Samamoodi on kahe pakutud muutuja muutumise eitamine samaväärne mõlema muutuja negatiivsuste hajutamisega.

Nagu eespool mainitud, aitab selle loogilise samaväärsuse asendamine näidata olulisi tulemusi koos teiste olemasolevate järeldusteeskirjadega. Nende abil saate lihtsustada paljusid ettepanekulisi valemeid, et nad oleksid kasulikumad.

Järgnev on näide matemaatilisest tõendist, milles kasutatakse Morgani seaduste põhjal järeldusi. Täpsemalt on näidatud, et valem:

on samaväärne:

Viimane on lihtsam mõista ja arendada.

Demonstreerimine

Väärib märkimist, et Morgani seaduste kehtivust saab matemaatiliselt näidata. Üks võimalus on tõe tabelite võrdlemine.

Komplektid

Samu järelduseeskirju ja ettepanekute suhtes rakendatavaid loogika mõisteid võib välja töötada ka komplektide põhjal. Seda nimetatakse Boole algebraks pärast matemaatikut George Boolet.

Juhtude diferentseerimiseks on vaja muuta märget ja ülekandeid komplekti, kõik mõisted, mida juba pakutud loogikas loetakse.

Komplekt on objektide kogu. Komplektid on tähistatud suurtähtedega A, B, C, X, ja komplekti elemendid tähistatakse väiketähtedega a, b, c, x jne. Kui element a kuulub komplekti X, tähistatakse seda:

Kui see X-le ei kuulu, on märge järgmine:

Komplektide esindamise viis on paigutada nende elemendid võtmete sisse. Näiteks looduslike numbrite kogumit esindab:

Komplektid võivad olla esindatud ka ilma nende elementide selgesõnalise loeteluta. Neid saab väljendada kujul :. Kaks punkti loetakse "nii, et". Komplekti elemente esindav muutuja paigutatakse kahe punkti vasakule poole ning nende omadus või seisund asetatakse paremale küljele. See on:

Näiteks täisarvude kogumit, mis on suurem kui -4, võib väljendada järgmiselt:

Või samaväärselt ja lühendatult:

Samamoodi esindavad järgnevad väljendid vastavalt paaride ja paaritu numbrite kogumit:

Liit, ristmik ja komplekti täiendused

Järgmisena näeme loogiliste sidemete analooge komplektide puhul, mis moodustavad osa komplektide vahelistest põhitoimingutest.

Liit ja ristmik

Komplektide ühendamine ja lõikumine on vastavalt määratletud järgmiselt:

Näiteks kaaluge komplekti:

Seejärel peate:

Täiendus

Komplekti komplekti moodustavad elemendid, mis ei kuulu sellesse komplekti (sama tüüpi, mida originaal esindab). Komplekti A komplekti tähistab:

Näiteks loomulike numbrite piires on paarisarvude komplekti täiendus paaritu arv ja vastupidi.

Komplekti komplekti määramiseks peab algusest peale olema selge, milliseid universaalseid või peamisi elemente kaalutakse. Näiteks ei ole võrdne kaaluda loomulike numbrite komplekti täiendamist ratsionaalsetel arvudel.

Järgmises tabelis on näidatud seos või analoogia, mis esineb eelnevalt kindlaksmääratud komplekti toimingute vahel ja seostavad loogika loogika:

Morgani seadused komplekti jaoks

Lõpuks on Morgani seadused seadete kohta:

Sõnadega: liidese täiendus on täienduste lõikumine ja ristmiku täiendus on täienduste liit..

Esimese võrdsuse matemaatiline tõend oleks järgmine:

Teise näitamine on analoogne.

Viited

  1. Almaguer, G. (2002). Matemaatika 1. Toimetus Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Loogika, komplektid ja numbrid. Mérida - Venezuela: väljaannete nõukogu, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ja Soto, A. (1998). Sissejuhatus numbriteooriasse. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Arvuteooria põhikursus. Põhjamaade ülikool.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kuidas arendada matemaatilist loogilist põhjendust. University Editorial.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Numbrite teooria. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Numbriteooria. Redigeerimise visiooniraamatud.