Eksponentide seadused (näidete ja harjutustega lahendatud)

The eksponentide seadused on need, mis kehtivad sellele numbrile, mis näitab, mitu korda põhinumbrit tuleb korrutada. Eksponendid on tuntud ka kui volitused. Võimendus on matemaatiline operatsioon, mis koosneb alusest (a), eksponendist (m) ja võimsusest (b), mis on operatsiooni tulemus.

Eksponente kasutatakse üldjuhul väga suurte koguste kasutamisel, sest need ei ole ainult lühendid, mis esindavad sama arvu korrutamist teatud arvu kordi. Eksponendid võivad olla nii positiivsed kui negatiivsed.

Indeks

• 1 Eksponentide seaduste selgitus
  • 1.1 Esimene õigus: eksponendi võimsus on 1
  • 1.2 Teine seadus: eksponendi võimsus on 0
  • 1.3 Kolmas seadus: negatiivne eksponent
  • 1.4 Neljas seadus: volituste mitmekordistamine võrdse baasiga
  • 1.5 Viies seadus: volituste jaotus võrdse baasiga
  • 1.6 Kuues seadus: volituste mitmekordistamine teise baasiga
  • 1.7 Seitsmes seadus: volituste jaotus erineva baasiga
  • 1.8 Kaheksas seadus: võimu
  • 1.9 Üheksas seadus: murdosa
• 2 Harjutused lahendatud
  • 2.1 Harjutus 1
  • 2.2 Harjutus 2
• 3 Viited

Eksponentide seaduste selgitus

Nagu varem öeldud, on eksponendid lühendatud vorm, mis kujutab numbrite korrutamist iseenesest mitu korda, kui eksponent on seotud ainult vasakul oleva numbriga. Näiteks:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

Sellisel juhul on number 2 võimsuse alus, mida korrutatakse kolm korda, nagu näitab eksponent, mis asub aluse paremas ülanurgas. Ekspressiooni lugemiseks on erinevaid viise: 2 tõstetud 3-le või ka 2-le tõstetud.

Eksponendid näitavad ka seda, kui mitu korda neid saab jagada, ning selle operatsiooni eristamiseks korrutamisest kannab eksponent selle ees miinusmärki (-) (see on negatiivne), mis tähendab, et eksponent on nimetajana murdosa. Näiteks:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Seda ei tohiks segi ajada juhtumiga, kus alus on negatiivne, kuna see sõltub sellest, kas eksponent on ühtlane või paaritu, et teha kindlaks, kas võimsus on positiivne või negatiivne. Seega peate:

- Kui eksponent on ühtlane, on võimsus positiivne. Näiteks:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Kui eksponent on paaritu, on võimsus negatiivne. Näiteks:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

On erijuhtum, kus kui eksponent on võrdne 0-ga, on võimsus 1. Samuti on võimalus, et baas on 0; sellisel juhul on sõltuvalt kokkupuutest võimsus määramata või mitte.

Matemaatiliste operatsioonide läbiviimiseks eksponentidega on vaja järgida mitmeid reegleid või reegleid, mis lihtsustavad nende operatsioonide lahenduse leidmist.

Esimene õigus: eksponendi võimsus on 1

Kui eksponent on 1, on tulemuseks sama aluse väärtus: a¹ = a.

Näited

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Teine seadus: eksponendi võimsus on 0

Kui eksponent on 0, kui alus on null, on tulemuseks :, a⁰ = 1.

Näited

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Kolmas seadus: negatiivne eksponent

Kuna ekspositsioon on negatiivne, on tulemus murdosa, kus võimu nimetaja on. Näiteks kui m on positiivne, siis a^-m = 1 / a^m.

Näited

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Neljas seadus: volituste mitmekordistamine võrdse baasiga

Volituste korrutamiseks, kui alused on võrdsed ja erinevad 0-st, säilitatakse alus ja eksponendid lisatakse: a^m _* aⁿ = a^{m + n}.    

Näited

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Viies seadus: volituste jagamine võrdse alusega

Volituste jagamiseks, kus alused on võrdsed ja erinevad 0-st, säilitatakse baas ja eksponendid lahutatakse järgmiselt: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Näited

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^(15–10) = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Kuues seadus: volituste mitmekordistamine teise baasiga

Selles seaduses on meil vastupidine neljanda väljendiga; see tähendab, et kui on erinevad alused, kuid võrdsete eksponentidega, siis korrutatakse alused ja eksponent säilitatakse: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Näited

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Teine võimalus seda seadust esindada on, kui korrutamine on võimule tõusnud. Seega kuulub eksponent igasse terminisse: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Näited

- (5)_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Seitsmes seadus: volituste jagamine teise baasiga

Kui on olemas erinevad alused, kuid võrdsete eksponentidega, jagatakse alused ja eksponent säilitatakse: a^m / b^m = (a / b)^m.

Näited

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Samamoodi, kui jagunemine on võimule tõusnud, kuulub eksponent igasse terminisse: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Näited

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

On juhtum, kus eksponent on negatiivne. Seega, et olla positiivne, pööratakse lugeja väärtus ümber nimetaja väärtusega järgmisel viisil:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Kaheksas seadus: võimu jõud

Kui teil on võimu, mis tõstetakse teisele võimule - see tähendab, et kaks eksponenti samal ajal - baas säilitatakse ja eksponendid korrutatakse: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Näited

- (8)³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13)⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Üheksas seadus: murdosa

Kui võimsusel on eksponendina murdosa, siis lahendatakse see n-ndaks juureks, kus lugeja jääb eksponendiks ja nimetaja esindab juurindeksit:

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Arvuta toimingud erinevate aluste vahel:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Lahendus

Eksponentide reegleid rakendades korrutatakse loenduris alused ja eksponent säilitatakse, nagu see on:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Nüüd, kuna meil on samad alused, kuid erinevate eksponentidega, säilitatakse baas ja eksponendid lahutatakse:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Harjutus 2

Arvuta suurte volituste vahelised toimingud teisele võimule:

(3)²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Lahendus

Seaduste rakendamisel peate:

(3)²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

Viited

1. Aponte, G. (1998). Matemaatika põhialused. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Igapäevaelus rakendatud matemaatika.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matemaatika 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra ja trigonomeetria.
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.