Lineaarne interpoleerimise meetod, lahendatud harjutused

The lineaarne interpolatsioon on meetod, mis pärineb Newtoni üldisest interpoleerimisest ja võimaldab ligikaudselt kindlaks määrata tundmatu väärtuse, mis on kahe antud numbri vahel; see tähendab, et on olemas vahe. Seda rakendatakse ka ligikaudsete funktsioonide puhul, kus väärtused f_(a) ja f_(b) nad on teada ja sa tahad teada f_(x).

On erinevaid interpoleerimistüüpe, nagu näiteks lineaar-, ruut-, kuupmeetri- ja kõrgemad klassid, kõige lihtsam on lineaarne lähendamine. Lineaarse interpolatsiooniga tasutav hind on see, et tulemus ei ole nii täpne kui kõrgemate klasside funktsioonide ligikaudsete väärtuste puhul.

Indeks

• 1 Määratlus
• 2 Meetod
• 3 Harjutused lahendatud
  • 3.1 Harjutus 1
  • 3.2 Harjutus 2
• 4 Viited

Määratlus

Lineaarne interpolatsioon on protsess, mis võimaldab teil määrata väärtuse kahe täpselt määratletud väärtuse vahel, mis võivad olla tabelis või lineaarses graafikus.

Näiteks kui te teate, et 3 liitrit piima on väärt $ 4 ja et 5 liitrit on väärt $ 7, kuid soovite teada, milline on 4 liitri piim, interpoleerides selle vahepealse väärtuse määramiseks..

Meetod

Funktsiooni vahe-väärtuse hindamiseks on funktsioon f ligikaudne_(x) sirge r abil_(x), mis tähendab, et funktsioon varieerub lineaarselt "x" -ga venitusele "x = a" ja "x = b"; see tähendab "x" väärtuse intervallis (x₀, x₁) ja (ja₀, ja₁), "y" väärtuse annab punktide vaheline joon ning seda väljendatakse järgmise suhe abil:

(ja - ja₀) ÷ (x - x₀) = (ja₁ - ja₀) ÷ (x₁ - x₀)

Et interpolatsioon oleks lineaarne, on vajalik, et interpolatsiooni polünoom oleks kraadi üks (n = 1), nii et see kohanduks x väärtustega.₀ ja x_1.

Lineaarne interpoleerimine põhineb kolmnurkade sarnasusel, nii et saame eelmisest väljendist geomeetriliselt tuletada väärtuse "y", mis esindab "x" tundmatut väärtust..

Nii peate:

a = tan Ɵ = (vastaspool₁ ÷ külgnev jalg₁) = (vastaspool₂ ÷ külgnev jalg₂)

Teisel viisil väljendatud on:

(ja - ja₀) ÷ (x - x₀) = (ja₁ - ja₀) ÷ (x₁ - x₀)

Väljendite "ja" kustutamine on teil:

(ja - ja₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (ja₁ - ja₀)

(ja - ja₀) = (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Seega saame lineaarse interpolatsiooni jaoks üldise võrrandi:

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Üldiselt annab lineaarne interpoleerimine tõelise funktsiooni tegeliku väärtuse suhtes väikese vea, kuigi viga on minimaalne võrreldes siis, kui valite intuitiivselt numbri lähedale, mida soovite leida.

See viga ilmneb siis, kui püüate ligikaudse väärtusega kõvera väärtust sirgjoonega võrrelda; nendel juhtudel tuleb intervalli suurust vähendada, et ühtlustamine oleks täpsem.

Parema tulemuse saavutamiseks on soovitatav interpoleerimiseks kasutada 2., 3. või isegi kõrgema astme funktsioone. Nendel juhtudel on Taylori teoreem väga kasulik vahend.

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Järgnevas tabelis on esitatud bakterite arv, mis on inkubatsioonis pärast x tundi. Sa tahad teada, milline on bakterite maht 3,5 tundi.

Lahendus

Võrdlustabel ei anna väärtust, mis näitab bakterite kogust 3,5 tunni jooksul, kuid millel on vastavalt 3 ja 4 tunni pikkused suuremad ja madalamad väärtused. Sel viisil:

x₀ = 3 ja₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 ja₁ = 135

Interpoleeritud väärtuse leidmiseks rakendatakse nüüd matemaatilist võrrandit, mis on järgmine:

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Seejärel asendatakse vastavad väärtused:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

Nii saadakse, et 3,5 tunni jooksul on bakterite kogus 113, mis on vahepealne 3 ja 4 tunni vahel eksisteerivate bakterite mahu vahel..

Harjutus 2

Luisil on jäätistehas ja ta soovib teha uuringu, et teha kindlaks, millised tulud olid augustis tehtud kulutustest. Ettevõtte juht teeb graafiku, mis väljendab seda suhet, kuid Luis tahab teada:

Millised on augusti tulud, kui tehti 55 000 dollari kulu??

Lahendus

Graafik esitatakse tulude ja kulude väärtustega. Luis tahab teada, milline on augusti tulu, kui tehasel on kulusid $ 55,000. See väärtus ei kajastu otse graafikus, vaid see on suurem ja väiksem.

Kõigepealt tehakse tabel, kus väärtusi hõlpsalt seostada:

Nüüd kasutatakse interpolatsiooni valemit y väärtuse määramiseks

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Seejärel asendatakse vastavad väärtused:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

y = 56 000 + 12,936

y = $ 68,936.

Kui augustis tehti 55 000 dollari kulu, oli sissetulek $ 68,936.

Viited

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Geomeetrilise rühma teooria teemad. Chicago ülikooli press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Lineaarne interpolatsioon ", matemaatika entsüklopeedia.
4. , J. M. (1998). Inseneri numbriliste meetodite elemendid. UASLP.
5. , E. (2002). Interpoleerimise kronoloogia: iidsetest astronoomiatest kuni tänapäevase signaali ja pilditöötluseni. IEEE toimingud.
6. numbriline, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.