Eukleidiline geomeetria ajalugu, põhikontseptsioonid ja näited

The Eukleidiline geomeetria vastab geomeetriliste ruumide omaduste uuringule, kus Eukleidsi aksioomid on täidetud. Kuigi seda mõistet kasutatakse mõnikord ka geomeetria jaoks, millel on paremad mõõtmed sarnaste omadustega, on see tavaliselt sünonüümiks klassikalise geomeetria või lameda geomeetriaga..

Kolmandal sajandil a. C. Euclid ja tema jüngrid kirjutasid Elemendid, teos, mis hõlmas matemaatilist teadmist loogilise deduktiivse struktuuriga ajast. Sellest ajast alates on geomeetriast saanud teadus, mis algselt lahendab klassikalisi probleeme ja on kujunenud kujundavaks teaduseks, mis aitab mõista.

Indeks

• 1 Ajalugu
• 2 Põhimõisted
  • 2.1 Ühised mõisted
  • 2.2 Postulaadid või aksioomid
• 3 Näited
  • 3.1 Esimene näide
  • 3.2 Teine näide
  • 3.3 Kolmas näide
• 4 Viited

Ajalugu

Eukleidise geomeetria ajaloost rääkimiseks on oluline alustada Aleksandria ja Euklidiga Elemendid.

Kui Egiptus oli Ptolemaja I käes, alustas ta pärast Aleksander Suure surma oma projekti Aleksandria koolis..

Sedade seas, kes koolis õpetasid, oli Euklid. Spekuleeritakse, et tema sünniaeg on ligikaudu 325 a. C. ja tema surm 265 a. C. Me võime kindlalt teada, et ta läks Platoni kooli.

Rohkem kui kolmkümmend aastat õpetas Euclid Aleksandriast, ehitades oma kuulsaid elemente: ta hakkas kirjutama ammendavat kirjeldust oma aja matemaatikast. Eukleidsi õpetused andsid suurepäraseid jüngreid, nagu näiteks Archimedes ja Perga Apollonius.

Euklid oli vastutav klassikaliste kreeklaste erinevate avastuste struktureerimise eest Elemendid, kuid erinevalt oma eelkäijatest ei piirdu ta kinnitamisega, et teoreem on tõene; Euclides pakub meeleavaldust.

The Elemendid Need on 13 raamatu kokkuvõte. Pärast Piiblit on see kõige rohkem avaldatud raamat, millel on rohkem kui tuhat väljaannet.

The Elemendid on Euclid'i meistriteos geomeetria valdkonnas ning pakub kahe mõõtme (tasand) ja kolme mõõtme (ruum) geomeetria lõplikku käsitlemist, mis on pärit sellest, mida me nüüd teame kui eukleidilist geomeetria.

Põhimõisted

Elemendid koosnevad mõistetest, ühistest mõistetest ja postulaatidest (või aksioomidest), millele järgnevad teoreemid, konstruktsioonid ja demonstratsioonid.

- Üks asi on see, millel ei ole osi.

- Rida on laiuseta pikkus.

- Sirge joon on see, mis on võrdselt selles punktis olevate punktide suhtes.

- Kui kaks rida lõigatakse nii, et külgnevad nurgad on võrdsed, nimetatakse nurgad sirgeks ja jooni nimetatakse perpendikulaarseks..

- Paralleelsed jooned on need, mis ei ole samal tasapinnal kunagi lõigatud.

Pärast neid ja teisi määratlusi esitab Eukleide viie postulaadi ja viie mõiste loetelu.

Ühised mõisted

- Kaks asja, mis on võrdsed kolmandikuga, on üksteisega võrdsed.

- Kui samadele asjadele lisatakse võrdsed asjad, on tulemused samad.

- Kui samadest asjadest lahutatakse võrdsed asjad, on tulemused samad.

- Asjad, mis üksteisega sobivad, on üksteisega võrdsed.

- Kogusumma on suurem kui osa.

Postulaadid või aksioomid

- Kahe erineva punkti jaoks on üks ja ainult üks rida.

- Sirged jooned võivad ulatuda lõputult.

- Te saate joonistada ringi mis tahes keskpunkti ja mis tahes raadiusega.

- Kõik täisnurgad on samad.

- Kui sirgjoon ületab kaks sirget joont nii, et sama külje sisemine nurk on kuni kaks täisnurka, siis lõikuvad kaks joont sellel küljel.

Seda viimast postulaati nimetatakse paralleelide postulaadiks ja see sõnastati ümber järgmiselt: "Sõnaga väljaspool rida saab joonistada ühe paralleeli antud joonega".

Näited

Järgmine, mõned teoreemid Elemendid nad näitavad geomeetriliste ruumide omadusi, kus on täidetud viis Eukleidese postulaati; Lisaks illustreerivad nad selle matemaatiku loogilist deduktiivset põhjendust.

Esimene näide

Ettepanek 1.4. (LAL)

Kui kahel kolmnurgal on kaks külge ja nende vaheline nurk on võrdne, siis on teised küljed ja teised nurgad võrdsed.

Demonstreerimine

Olgu ABC ja A'B'C kaks kolmnurka, mille AB = A'B ', AC = A'C' ja nurgad BAC ja B'A'C 'võrdsed. Liigutage kolmnurgale A'B'C 'nii, et A'B langeb kokku AB-ga ja see nurk B'A'C' langeb kokku nurga BAC-ga.

Seejärel langeb joon A'C joonega AC, nii et C 'langeb kokku C-ga. Siis peab postulaat 1 1-ga joond BC langema kokku joonega B'C'. Seetõttu kattuvad kaks kolmnurka ja seega nende nurgad ja küljed on võrdsed.

Teine näide

Ettepanek 1.5. (Pons Asinorum)

Kui kolmnurga külgedel on kaks võrdset külge, siis on nende külgedega vastasnurgad võrdsed.

Demonstreerimine

Oletame, et kolmnurga ABC külgedel on AB ja AC võrdsed.

Seejärel on kolmnurgadel ABD ja ACD kaks võrdset külge ja nende vahelised nurgad on võrdsed. Seega on ettepanek 1.4, nurkad ABD ja ACD võrdsed.

Kolmas näide

Ettepanek 1.31

Võite rajada joone, mis on paralleelne antud punkti antud joonega.

EHITUS

Arvestades liini L ja punkti P, tõmmatakse sirge M, mis läbib P ja lõikab L. Seejärel tõmbab P sirgjoon L, mis lõikab L. Nüüd jälitame P-ga sirget N-d, mis lõikub M-ni, moodustades nurga, mis on võrdne M-ga moodustuva nurga moodustamisega.

Kinnitus

N on paralleelne L-ga.

Demonstreerimine

Oletame, et L ja N ei ole punkti A juures paralleelsed ja lõikuvad. Olgu B punkt A, mis jääb A-st kaugemale. Mõelge joonele O, mis läbib B-d ja P.-d. kaks sirget.

Siis 1,5-ga peab rida O lõikuma M-i teisele küljele L, nii et L ja O lõikuvad kahes punktis, mis on vastuolus postulaadiga 1. Seetõttu peavad L ja N olema paralleelsed.

Viited

1. Euklid, geomeetria elemendid. Mehhiko riiklik autonoomne ülikool
2. Euklid Euclidi esimesed kuus raamatut ja üheteistkümnes ja kaheteistkümnes element
3. Eugenio Filloy Yague. Eukleidise geomeetria didaktika ja ajalugu Iberoamerican Editorial Group
4. K.Ribnikov. Matemaatika ajalugu Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuela C.A toimetamine.