Sünteetiline jaotusmeetod ja lahendatud harjutused

The sünteetiline jaotus see on lihtne viis polünoomi P (x) jagamiseks mis tahes vormiga d (x) = x - c. See on väga kasulik vahend, kuna lisaks sellele, et võimaldame meil jagada polünoome, võimaldab see meil hinnata ka polünoomi P (x) mis tahes arvus c, mis omakorda ütleb meile täpselt, kas see number on null või polünoomi.

Tänu jagamisalgoritmile teame, et kui meil on kaks polünoomi P (x) ja d (x) ei ole konstantne, on polünoome q (x) ja r (x) unikaalne nii, et on tõsi, et P (x) = q (x) d (x) + r (x), kus r (x) on null või väiksem kui q (x). Need polünoomid on tuntud kui jaotis ja jääk või puhkus.

Juhul, kui polünoom d (x) on vormis x-c, annab sünteetiline jaotus meile lühikese võimaluse leida, kes on q (x) ja r (x).

Indeks

• 1 Sünteetiline jaotusmeetod
• 2 Harjutused lahendatud
  • 2.1 Näide 1
  • 2.2 Näide 2
  • 2.3 Näide 3
  • 2.4 Näide 4
• 3 Viited

Sünteetiline jaotusmeetod

Olgu P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polünoom, mida me tahame jagada ja d (x) = x-c jagaja. Sünteetilise jagamise meetodiga jagamiseks toimime järgmiselt:

1 - Kirjutame P (x) koefitsiendid esimeses reas. Kui mõni X võimsus ei ilmu, paneme selle koefitsiendiks null.

2- Teises reas, vasakul vasakul_n asetage c ja joonistage jaotusjooned, nagu on näidatud järgmisel joonisel:

3- Me alandame juhtivat koefitsienti kolmandale reale.

Selles väljendis b_n-1= a_n

4- Me korrutame c juhtkoefitsiendiga b_n-1 ja tulemus on kirjutatud teisele reale, vaid parempoolne veerg.

5 - Lisame veeru, kuhu me eelmise tulemuse kirjutasime, ja selle tulemuse, mille me selle summa alla panime; see tähendab, et samas veerus kolmas rida.

Lisades on meil tulemus_n-1+c * b_n-1, mis mugavuse nimel kutsume b_n-2

6- Me korrutame c eelmise tulemusega ja kirjutame tulemuse teisele reale paremale.

7 - Me kordame samme 5 ja 6, kuni jõuame koefitsiendini a₀.

8- Kirjutage vastus; see on jagaja ja jääk. Kuna me teostame kraadi n polünoomi jagunemist astme 1 polünoomi vahel, on meil, et kraadi n-1 tõsine jagatis.

Osatähtsuse polünoomi koefitsiendid on kolmanda rea ​​numbrid, välja arvatud viimane, mis on jaotuse jääkpolünoom või ülejäänud osa.

Lahendatud harjutused

Näide 1

Tehke järgnev jaotus sünteetilise jagamise meetodi järgi:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Lahendus

Esmalt kirjutame dividendikoefitsiendid järgmiselt:

Seejärel kirjutame me vasakule, teisele reale koos jagunemisliinidega. Selles näites c = -1.

Me alandame juhtivat koefitsienti (antud juhul b_n-1 = 1) ja korruta see -1-ga:

Kirjutame teie tulemuse teisel real paremale, nagu allpool näidatud:

Lisame teise veeru numbrid:

Korrutame 2 ja -1 ning kirjutame tulemuse kolmandasse veergu, teise rida:

Lisame kolmandasse veergu:

Jätkame analoogselt, kuni jõuame viimasesse veergu:

Seega on meil viimane saadud arv jagunemise ülejäänud osa ja ülejäänud numbrid on koefitsiendid polünoomi jagamisel. See on kirjutatud järgmiselt:

Kui me tahame kontrollida, kas tulemus on õige, piisab, et kontrollida, kas järgmine võrrand on täidetud:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Seega saame kontrollida, kas saadud tulemus on õige.

Näide 2

Tehke järgmine polünoomide jaotus sünteetilise jagamise meetodiga

(7x³-x + 2): (x + 2)

Lahendus

Sellisel juhul on meil termin x² see ei ilmu, seega kirjutame selle koefitsiendiks 0. Niisiis, polünoom oleks nagu 7x³+0x²-x + 2.

Kirjutame nende koefitsiendid järjest, see on:

Kirjutame väärtuse C = -2 teise rea vasakule küljele ja joonistame jagamisjooned.

Me alandame juhtivat koefitsienti b_n-1 = 7 ja korrutame selle -2-ga, kirjutades selle tulemuse teisele reale paremal.

Lisame ja jätkame nii, nagu eelnevalt selgitatud, kuni jõuame viimasele ametiajale:

Sellisel juhul on ülejäänud r (x) = - 52 ja saadud tegur on q (x) = 7x²-14x + 27.

Näide 3

Teine võimalus sünteetilise jagunemise kasutamiseks on järgmine: oletame, et meil on kraadi n polünoom P (x) ja me tahame teada, mis on selle väärtuse hindamisel x = c.

Jaotuse algoritmi järgi on meil võimalik kirjutada polünoomi P (x) järgmisel viisil:

Selles väljendis on q (x) ja r (x) vastavalt tegur ja ülejäänud. Nüüd, kui d (x) = x- c, kui hindame polünoomi c-s, leiame:

Selleks peame leidma ainult r (x) ja seda saame teha tänu sünteetilisele jagamisele.

Näiteks on meil polünoom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 ja me tahame teada, milline on selle väärtus selle hindamisel x = 5. Selleks teostame jaotuse P (x) ja d (x) = x -5 vahel sünteetilise jagamismeetodi abil:

Kui toimingud on tehtud, teame, et me saame kirjutada P (x) järgmisel viisil:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Seetõttu peame selle hindamisel:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) + 179 (5) + 858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) + 179 (5) + 858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Nagu näeme, on võimalik kasutada sünteetilist jaotust polünoomi väärtuse leidmiseks selle hindamisel c-s, selle asemel, et lihtsalt asendada c-d x-ga. 

Kui me püüdsime P (5) hinnata tavapärasel viisil, peame tegema mõned arvutused, mis kipuvad olema tüütu.

Näide 4

Polünoomide jagamise algoritm on samuti täidetud keerukate koefitsientidega polünoomide puhul ja seetõttu on meil ka see, et sünteetiline jagamismeetod töötab ka nimetatud polünoomide puhul. Järgmisena näeme näidet.

Me kasutame sünteetilise jagamise meetodit, et näidata, et z = 1+ 2i on polünoomi P (x) = x null.³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); see tähendab, et ülejäänud jaotus P (x) d (x) = x - z vahel on võrdne nulliga.

Me jätkame nii nagu varem: esimeses reas kirjutame P (x) koefitsiendid, seejärel teisel juhul kirjutame z ja joonistame jagamisjooned.

Me tegime jaotuse nagu varem; see on:

Näeme, et jääk on null; seetõttu järeldame, et z = 1+ 2i on P (x) null.

Viited

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Toimetusgrupp.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: graafik, numbriline, algebraline 7. väljaanne Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Prentice'i saal
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. ed. Pearson Education.
5. Punane Armando O. Algebra 1 6. ed. Athenaeum.