Diskreetsete tõenäosusomaduste ja harjutuste jaotused



The Diskreetsed tõenäosusjaotused on funktsioon, mis määrab igale element X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., kus X on diskreetne juhuslik muutuja andnud ja S on proovi ruumi tõenäosus, et sündmuse tekkimist. See funktsioon f X (S) defineeritakse f (xi) = P (X = xi) nimetatakse mõnikord tõenäosus mass funktsiooni.

See tõenäosuste mass on tavaliselt esitatud tabelina. Kuna X on diskreetne juhuslik muutuja, on X (S) piiratud arv sündmusi või loendatav lõpmatus. Kõige levinumate diskreetsete tõenäosusjaotuste seas on meil ühtlane jaotus, binomiaalne jaotus ja Poissoni jaotus.

Indeks

  • 1 Omadused
  • 2 tüüpi
    • 2.1 Ühtne jaotus n-punktide vahel
    • 2.2 Binomiaalne jaotus
    • 2.3 Poissoni jaotus
    • 2.4 Hüpergeomeetriline jaotus
  • 3 Harjutused lahendatud
    • 3.1 Esimene harjutus
    • 3.2 Teine harjutus
    • 3.3 Kolmas harjutus
    • 3.4 Kolmas harjutus
  • 4 Viited

Omadused

Tõenäosusjaotuse funktsioon peab vastama järgmistele tingimustele:

Samuti, kui X võtab ainult piiratud arv väärtusi (näiteks x1, x2, ..., xn), siis p (xi) = 0, kui i> n ja seega lõpmatu rea seisukorras b muutub hulga.

See funktsioon vastab ka järgmistele omadustele:

Olgu B juhuslik muutuja X seotud sündmus. See tähendab, et B sisaldub X (S) -is. Eriti oletame, et B = xi1, xi2, .... Seetõttu:

Teisisõnu: sündmuse B tõenäosus on võrdne B-ga seotud individuaalsete tulemuste tõenäosuste summaga.

Sellest võib järeldada, et kui a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Tüübid

Ühtne jaotus n-punktide vahel

On öeldud, et juhuslik muutuja X järgib jaotust, mida iseloomustab n-punktides ühtlane, kui igale väärtusele on antud sama tõenäosus. Selle tõenäosusmassi funktsioon on:

Oletame, et meil on eksperiment, mis on kaks võimalikku tulemust võib olla visklemine mündi, mille võimalikud tulemused on näo või pitsat, või valides täisarv, mille tulemus võib olla paarisarv või paaritu üks; Seda tüüpi katse tuntakse Bernoulli.

Üldiselt nimetatakse kahte võimalikku tulemust edukuseks ja ebaõnnestumiseks, kus p on õnnestumise tõenäosus ja 1-p ebaõnnestumise tõenäosus. Me võime määrata kindlaks, kui tõenäoline on x Bernoulli testides, mis on üksteisest sõltumatud järgneva jaotusega.

Binomiaalne jaotus

See on see funktsioon, mis esindab tõenäosust saada x edusamme n iseseisvates Bernoulli testides, mille edukuse tõenäosus on p. Selle tõenäosusmassi funktsioon on:

Järgnev graafik kujutab binomiaalse jaotuse parameetrite erinevate väärtuste tõenäosuse funktsiooni massi.

Järgmine jaotus võlgneb oma nime eest prantsuse matemaatikule Simeon Poissonile (1781-1840), kes sai selle binomiaalse jaotuse piiriks..

Poissoni jaotus

On öeldud, et juhuslik muutuja X on parameetri λ Poissoni jaotus, kui ta võib võtta positiivse täisarvu väärtused 0,1,2,3, ... järgmise tõenäosusega:

Selles väljendis λ on iga ajaühiku sündmuse sündmustele vastav keskmine arv ja x on kordade arv, mil sündmus toimus.

Selle tõenäosusmassi funktsioon on:

Järgmiseks graafik, mis kujutab tõenäosusmassi funktsiooni Poissoni jaotuse parameetrite erinevate väärtuste jaoks.

Pange tähele, et kuigi mitmed edu on madal ja number n katsetamise binoomjaotus kõrge, saame alati ühtlustada need väljamaksed olla Poissoni jaotuse piirata binoomjaotus.

Peamine erinevus nende kahe jaotuse on see, et samal ajal kaheosaline sõltub kaks parameetrit, nimelt n ja p, Poissoni ainult sõltub λ, mis on mõnikord nimetatakse intensiivsuse jaotus.

Seni oleme rääkinud ainult tõenäosusjaotustest juhtumite puhul, kus erinevad katsed on üksteisest sõltumatud; see tähendab, et kui mõni muu tulemus ei mõjuta ühe tulemust.

Kui katsed ei ole sõltumatud, on hüpergeomeetriline jaotus väga kasulik.

Hüpergeomeetriline jaotus

Olgu N lõplike komplektide objektide koguarv, millest me suudame k-l mingil moel identifitseerida, moodustades alamhulga K, mille komplementi moodustavad ülejäänud N-k elemendid.

Kui me valime juhuslikult n-objektid, on juhusliku muutuja X, mis esindab K-le kuuluvate objektide arvu selles valimis, parameetrite N, n ja k hüpergeomeetrilise jaotusega. Selle tõenäosusmassi funktsioon on:

Järgnev graafik kujutab hüpergeomeetrilise jaotuse parameetrite erinevate väärtuste tõenäosuse funktsiooni massi.

Lahendatud harjutused

Esimene harjutus

Oletame, et tõenäosus, et raadiotoru (teatud tüüpi seadmetesse) töötab rohkem kui 500 tundi, on 0,2. Kui 20 katseklaasi testitakse, siis milline on tõenäosus, et täpselt k nendest toimib rohkem kui 500 tundi, k = 0, 1,2, ..., 20?

Lahendus

Kui X on rohkem kui 500 tundi töötavate torude arv, eeldame, et X-l on binomiline jaotus. Siis

Ja nii:

K≥11 puhul on tõenäosused väiksemad kui 0,001

Seega näeme, kuidas tõenäosus, et need k töötavad rohkem kui 500 tundi, tõuseb, kuni see saavutab maksimaalse väärtuse (k = 4) ja hakkab seejärel vähenema.

Teine harjutus

Mündi visatakse 6 korda. Kui tulemus on kallis, siis ütleme, et see on edukas. Mis on tõenäosus, et kaks nägu tulevad täpselt välja?

Lahendus

Sel juhul on meil see, et n = 6 ja nii edu kui ka ebaõnnestumise tõenäosus on p = q = 1/2

Seetõttu on kahe näo andmise tõenäosus (st k = 2)

Kolmas harjutus

Mis on tõenäosus leida vähemalt neli nägu?

Lahendus

Sel juhul on meil k = 4, 5 või 6

Kolmas harjutus

Oletame, et 2% tehases toodetud toodetest on defektsed. Leidke tõenäosus P, et 100 elemendi valimis on kolm defektset elementi.

Lahendus

Sel juhul võiksime rakendada binomaalset jaotust n = 100 ja p = 0,02 jaoks, saades tulemuseks:

Kuna aga p on väike, kasutame Poissoni lähendamist λ = np = 2-ga. Nii et,

Viited

  1. Kai Lai Chung Elementaarne teostatavuse teooria stohhastiliste protsessidega. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskreetne matemaatika ja selle rakendused. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tõenäosus ja statistilised rakendused. S.A. MEXIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 diskreetne matemaatika lahendatud probleemid. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tõenäosuse teooria ja probleemid. McGRAW-HILL.