Aksiomaatilise meetodi omadused, sammud, näited



The aksiomaatiline meetod või ka Axiomatics on teaduste poolt kasutatav ametlik protseduur, mille abil formuleeritakse aksioomide nimetused või ettepanekud, mis on omavahel seotud mahaarvatavuse suhtega ja mis on aluseks teatud süsteemi hüpoteesile või tingimustele..

See üldine määratlus peab olema kujundatud selle metoodika arengus ajaloo jooksul. Esiteks on iidne Kreekas pärit Euclidist pärit vana meetod või sisu, mida hiljem arendas Aristoteles.

Teiseks, juba üheksateistkümnendal sajandil ilmus geomeetria, mille aksioomid erinesid Euklidist. Ja lõpuks, formaalne või kaasaegne aksiomaatiline meetod, mille maksimaalne eksponent oli David Hilbert.

Lisaks aja arengule on see protseduur olnud aluseks geomeetrias ja loogikas kasutatavale deduktiivsele meetodile. Seda on kasutatud ka füüsikas, keemias ja bioloogias.

Ja seda on rakendatud isegi õigusteadusele, sotsioloogiale ja poliitilisele majandusele. Praegu on selle kõige olulisem rakendusala matemaatika ja sümboolne loogika ning mõned füüsikaharud, nagu termodünaamika, mehaanika, teiste valdkondade seas..

Indeks

  • 1 Omadused 
    • 1.1 Vana aksiomaatiline meetod või sisu 
    • 1.2 Mitte-eukleidiline aksioomiline meetod
    • 1.3 Kaasaegne või formaalne aksiomaatiline meetod
  • 2 sammu 
  • 3 Näited
  • 4 Viited

Omadused

Kuigi selle meetodi põhiomaduseks on aksioomide kujundamine, ei ole neid alati samal viisil käsitletud.

On mõningaid, mida saab määratleda ja konstrueerida meelevaldselt. Ja teised, vastavalt mudelile, milles peetakse silmas tema intuitiivselt tagatud tõde.

Selleks, et mõista konkreetselt seda erinevust ja selle tagajärgi, on vaja vaadata läbi selle meetodi areng.

Vana aksiomaatiline meetod või sisu 

See on loodud Vana-Kreekas umbes 5. sajandil eKr. Selle rakendusala on geomeetria. Selle etapi põhitöö on Eukleidsi elemendid, kuigi peetakse, et tema ees oli Pythagoras juba sünnitanud aksiomaatilise meetodi.

Seega võtavad kreeklased teatud faktid aksioomidena, ilma et oleks vaja loogilisi tõendeid, st ilma demonstreerimiseta, sest nende jaoks on nad enesestmõistetav tõde.

Omalt poolt esitab Euclides geomeetriale viis aksioomi:

1 - Arvestades kahte punkti, on rida, mis sisaldab või lingib neid.

2-Iga segmenti saab jätkata piiramatul real mõlemal küljel.

3-Saate joonistada ringi, millel on mis tahes punktis ja mis tahes raadiuses keskpunkt.

4-paremad nurgad on kõik ühesugused.

5 - Võttes vastu mis tahes sirgjoont ja mis tahes punkti, mis ei ole selles, on sirgjooneline paralleelne joon, mis sisaldab seda punkti. See aksioom on hiljem tuntud paralleelide aksioomina ja seda on samuti kirjas: kui joonest väljaspool asuvat punkti saab joonistada ühe paralleeli.

Siiski, nii Euklid kui ka hiljem matemaatikud, nõustuvad, et viies aksioom ei ole nii selge intuitiivselt kui teine ​​4. Isegi renessansi ajal püüab ta tuletada ülejäänud neljandat, kuid see ei ole võimalik.

See viis, et juba üheksateistkümnendal sajandil olid need, kes viisid viisid, eukleidise geomeetria toetajad ja need, kes eitasid viiendat, olid need, kes lõid mitte-eukleidilise geomeetria.

Mitte-eukleidiline aksioomiline meetod

Just Nikolai Ivanovitš Lobachevski, János Bolyai ja Johann Karl Friedrich Gauss näevad võimalust ehitada ilma vasturääkivuseta geomeetria, mis tuleneb Eukleide omast erinevatest aksioomide süsteemidest. See hävitab veendumused nende aksioomide ja nende teooriate absoluutsest või a priori tõest.

Seetõttu hakkavad aksioomid olema etteantud teooria lähtepunktidena. Ka nii nende valik kui ka nende kehtivuse probleem ühel või teisel viisil hakkavad seonduma faktidega, mis ei kuulu aksioomilisele teooriale.

Sel viisil ilmuvad geomeetrilised, algebralised ja aritmeetilised teooriad, mis on konstrueeritud aksiomaatilise meetodi abil.

See etapp kulmineerub aritmeetika jaoks mõeldud aksioomiliste süsteemide loomisega, nagu näiteks Giuseppe Peano 1891. aastal; David Huberti geomeetria 1899. aastal; Alfred North Whiteheadi ja Bertrand Russelli, Inglismaal 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo komplekti aksioomiline teooria 1908. aastal.

Moodne või formaalne aksiomaatiline meetod

David Hubert algatab formaalse aksiomaatilise meetodi kontseptsiooni ja viib selle kulminatsioonini, David Hilbert.

Täpselt Hilberti, kes vormistab teaduskeele, arvestab selle avaldusi valemite või märkide järjestustena, millel ei ole mingit tähendust. Nad omandavad tähenduse teatud tõlgenduses.

In "Geomeetria alused"Selgitab selle metoodika esimest näidet. Siin muutub geomeetria teaduslikeks loogilisteks tagajärgedeks, mis saadakse hüpoteeside või aksioomide süsteemist, mis on paremini liigendatud kui eukleidiline süsteem.

Seda seetõttu, et vanas süsteemis põhineb aksioomiline teooria aksioomide tõenditel. Kuigi formaalse teooria aluseks on selle aksioomide vastuolu demonstreerimine.

Sammud

Protseduur, mis teostab akadeemilist struktuuri teaduslikes teooriates, tunnistab:

a - teatud arvu aksioomide valimine, st teatud teooria mõned ettepanekud, mida aktsepteeritakse ilma näidata.

b - nende ettepanekute osa ei ole antud teooria raames kindlaks määratud.

c - antud teooria määratlemise ja mahaarvamise reeglid on fikseeritud ja võimaldavad teoorias uute kontseptsioonide tutvustamist ja loogiliselt tuletada mõningaid teistest ettepanekutest.

d-teooria teised ettepanekud, st teoreem, tuletatakse a-st c alusel.

Näited

Seda meetodit saab kontrollida kahe kõige tuntuma Euclid'i teoreemi: jalgteoreemi ja kõrguse teoreemi abil..

Mõlemad tulenevad sellest Kreeka geomeetrist, et kui kõrgus on joonistatud hüpotenuse suhtes parempoolses kolmnurgas, ilmuvad kaks kolmnurka rohkem kui originaal. Need kolmnurgad on üksteisega sarnased ja samal ajal sarnased kolmnurga päritolule. See eeldab, et nende vastavad homoloogsed küljed on proportsionaalsed.

On näha, et kolmnurkade kongruentsed nurgad sellisel viisil kontrollivad sarnasust kolme kolmnurga vahel vastavalt AAA sarnasuse kriteeriumile. See kriteerium eeldab, et kui kahel kolmnurgal on kõik võrdsed nurgad, on need sarnased.

Kui kolmnurgad on sarnased, saab esimeses teorees määratud proportsioonid kindlaks määrata. Selles öeldakse, et paremas kolmnurgas on iga kateti mõõtmine geomeetriline proportsionaalne keskmine hüpoteesuse ja selle kateti projitseerimise vahel..

Teine teoreem on kõrgus. Selles täpsustatakse, et hüpoteenuse järgi tõmmatud iga kolmnurga kõrgus on geomeetriline proportsionaalne keskmine segmentide vahel, mis on määratud hüpoteenuse geomeetrilise keskmise abil..

Mõlemal teoreemil on muidugi arvukalt rakendusi kogu maailmas mitte ainult hariduse, vaid ka inseneriteaduse, füüsika, keemia ja astronoomia valdkonnas..

Viited

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geomeetria, formaalsus ja intuitsioon: David Hilbert ja formaalne aksioomiline meetod (1895-1905). Filosoofia Magazine, kd 39 Núm. 2, lk 121-146. Võetud revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Axiomaatiline mõte. W.Ewaldis, toimetaja Kantist Hilbertisse: matemaatika aluse raamat. II köide, lk 1105-1114. Oxfordi ülikooli ajakirjandus. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Mis on aksiomaatiline meetod? Synthese, november 2011, maht 189, lk.69-85. Võetud link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Kaasaegse õiguse filosoofia sissejuhatus. (lk.48-49). Võetud aadressilt books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatic Method, lugedes Ricardo Nirenberg, sügis 1996, Albany ülikool, Project Renaissance. Albany.edust.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert matemaatika formaalse ja mitteametliku poole vahel. Käsikirja vol. 38 ei. 2, Campinas Juuli / august 2015. Scielo.br.