Ümberkujundatud Laplace'i määratlus, ajalugu, mis see on, omadused



The transformeeritud Laplace'ist on viimastel aastatel inseneriteaduse, matemaatika, füüsika, teiste teadusvaldkondade uuringutes väga olulise tähtsusega ning lisaks teoreetilise huvi pakkumisele lihtne viis teaduse ja tehnika probleemide lahendamiseks..

Algselt esitles Laplace'i transformatsiooni Pierre-Simon Laplace oma tõenäosuse teooria uuringus ja seda käsitleti esialgu üksnes teoreetilise huvi matemaatilise objektina.

Praegused rakendused tekivad siis, kui erinevad matemaatikud püüdsid anda ametlikule põhjendusele elektromagnetilise teooria võrrandite uuringus Heaviside poolt kasutatavad "käitamiseeskirjad".

Indeks

  • 1 Määratlus
    • 1.1 Näited
    • 1.2 Teoreem (olemasolu piisavad tingimused)
    • 1.3 Mõnede põhifunktsioonide Laplace'i teisendus
  • 2 Ajalugu
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Atribuudid
    • 3.1 Lineaarsus
    • 3.2 Esimese tõlke teoreem
    • 3.3 Teise tõlke teoreem
    • 3.4 Skaala muutus
    • 3.5. \ T
    • 3.6 Integraalide Laplace'i transformatsioon
    • 3.7 Korrutamine tn-ga
    • 3.8 Jaotus t järgi
    • 3.9 Perioodilised funktsioonid
    • 3.10 F (de) käitumine, kui s kipub lõpmatuseni
  • 4 Pöördtransformatsioonid
    • 4.1 Harjutus
  • 5 Laplace'i teisenduse rakendused
    • 5.1 Diferentsiaalvõrrandid
    • 5.2 Diferentsiaalvõrrandite süsteemid
    • 5.3 Mehaanika ja elektriskeemid
  • 6 Viited

Määratlus

Olgu f funktsioon, mis on defineeritud t ≥ 0. jaoks. Laplace'i teisendus on defineeritud järgmiselt:

On öeldud, et Laplace'i teisendus eksisteerib, kui eelmine integraal konverteerub, vastasel juhul öeldakse, et Laplace'i teisend ei ole olemas.

Üldiselt kasutatakse selleks, et tähistada funktsiooni, mida soovite muuta, väiketähti ja suurtäht vastab selle muundumisele. Sel viisil on meil:

Näited

Vaatleme konstantset funktsiooni f (t) = 1. Meil ​​on, et selle teisend on:

Kui integreeritud konverteerib, siis alati, kui s> 0. Vastasel juhul s < 0, la integral diverge.

Olgu g (t) = t. Teie Laplace'i teisendust annab

Integreerides osad ja teades seda-st see kipub 0-le, kui t kipub lõpmatusse ja s> 0, koos eelmise näitega, et:

Transform võib olla või ei eksisteeri, näiteks funktsiooni f (t) = 1 / t jaoks ei integreeri selle Laplace'i teisendit defineeriv integraal ja seetõttu ei ole selle muundumist olemas.

Piisavad tingimused, et tagada funktsiooni f Laplace'i teisenduse olemasolu, on see, et f on t ≥ 0 osades pidev ja on eksponentsiaalne.

On öeldud, et funktsioon on pidev t ≥ 0 osades, kui mistahes intervalliga [a, b] a> 0 korral on piiratud arv punkte.k, kus f on katkendlikud ja on pidev igas alamintervalli [tk-1,tk].

Teisest küljest öeldakse, et funktsioon on eksponentsiaalses järjekorras c, kui on olemas tegelikud konstantid M> 0, c ja T> 0, nii et:

Näidetena on meil, et f (t) = t2 on eksponentsiaalne, kuna | t2| < e3t kõigi t> 0 puhul.

Ametlikul viisil on meil järgmine lause

Teoreem (olemasolu piisavad tingimused)

Kui f on pidev funktsioon ühe osa kohta t> 0 ja eksponentsiaalse järjekorra c kohta, siis on Laplace'i teisendus s> c jaoks..

Oluline on rõhutada, et see on piisavuse tingimus, see tähendab, et on võimalik, et on olemas funktsioon, mis ei vasta nendele tingimustele ja isegi siis on Laplace'i transformatsioon olemas.

Selle näiteks on funktsioon f (t) = t-1/2 see ei ole pidev t ≥ 0 osades, kuid selle Laplace'i teisendus on olemas.

Mõnede põhifunktsioonide Laplace'i teisendus

Järgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi.

Ajalugu

Laplace'i transformatsioon on oma nime kandnud Pierre-Simon Laplaceele, matemaatikule ja prantsuse teoreetilisele astronoomile, kes sündis 1749. aastal ja suri 1827. aastal. Tema kuulsus oli selline, et teda tuntakse Prantsusmaa Newtoni nime all.

Aastal 1744 pühendas Leonard Euler õpinguid integraalidele koos vormiga

tavaliste diferentsiaalvõrrandite lahendustena, kuid loobusid sellest uurimisest kiiresti. Hiljem uuris Joseph Louis Lagrange, kes väga imetles Euleri, seda tüüpi integraale ja seostas need tõenäosuse teooriaga.

1782, Laplace

Aastal 1782 hakkas Laplace uurima neid integraale diferentsiaalvõrrandite lahendustena ja ajaloolaste sõnul otsustas ta 1785. aastal ümber kujundada probleemi, mis hiljem sündis Laplace'i ümberkujundamises, nagu neid täna mõistetakse.

Tõenäosusteooria valdkonda tutvustades oli aja teadlastele vähe huvi ja seda vaadeldi ainult teoreetilise huvi matemaatilise objektina.

Oliver Heaviside

See oli 19. sajandi keskpaigas, kui inglise insener Oliver Heaviside avastas, et diferentseeritud operaatorid on algebralised muutujad, andes nende kaasaegse rakenduse Laplace'i teisenditele.

Oliver Heaviside oli inglise füüsik, elektriinsener ja matemaatik, kes sündis 1850. aastal Londonis ja suri 1925. aastal. Püüdes lahendada vibratsiooniteooria teooriaid ja kasutades Laplace'i uuringuid, hakkas ta kujundama Laplace'i teisenduste kaasaegsed rakendused.

Heaviside'i tulemused on levinud kiiresti kogu aja teadusringkondades, kuid kuna selle töö ei olnud range, kritiseeriti seda kiiremini traditsioonilisemad matemaatikud.

Heaviside'i töö kasulikkus füüsika võrrandite lahendamisel tegi aga oma meetodid populaarseks füüsikute ja inseneride seas.

Hoolimata nendest tagasilöökidest ja pärast mõningaid aastakümneid kestnud ebaõnnestunud katseid võib 20. sajandi alguses anda Heaviside poolt antud operatiivreeglite range põhjenduse..

Need katsed tasusid tänu erinevate matemaatikute, näiteks Bromwichi, Carsoni, van der Poli jõupingutustele..

Omadused

Laplace'i teisenduse omaduste hulgas on järgmised väljad:

Lineaarsus

Olgu c1 ja c2 konstandid ja f (t) ja g (t) funktsioonid, mille Laplace'i teisendused on vastavalt F (s) ja G (s), siis peame:

Selle omaduse tõttu on öeldud, et Laplace'i teisendus on lineaarne operaator.

Näide

Esimene tõlke teoreem

Kui juhtub, et:

Ja „a” on tegelik arv, siis:

Näide

Cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplace'i transformatsioonina siis:

Teine tõlke teoreem

Jah

Siis

Näide

Kui f (t) = t ^ 3, siis F (s) = 6 / s ^ 4. Ja seetõttu, ümberkujundamine

on G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Skaala muutus

Jah

Ja "a" on mitte-null reaalne, peame

Näide

Kuna f (t) = sin (t) transformatsioon on F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), peab see olema

derivaatide Laplace'i ümberkujundamine

Kui f, f ', f ", ..., f(n) on pidevad t ≥ 0 jaoks ja on eksponentsiaalsed ja f(n)(t) on siis t ≥ 0 osades pidev

Integraalide Laplace'i transformatsioon

Jah

Siis

Korrutamine t-gan

Kui me peame seda tegema

Siis

Jaotus t järgi

Kui me peame seda tegema

Siis

Perioodilised funktsioonid

Olgu f perioodiline funktsioon perioodiga T> 0, st f (t + T) = f (t)

F (de) käitumine, kui s kipub lõpmatuseni

Kui f on osades ja eksponentsiaalses järjekorras pidev ja

Siis

Pöördtransformatsioonid

Kui rakendame Laplace'i teisendust funktsioonile f (t), saame F (id), mis esindab seda transformatsiooni. Samamoodi võime öelda, et f (t) on F (s) Laplace'i pöördväärtus, mis on kirjutatud kui

Me teame, et Laplace'i teisendused f (t) = 1 ja g (t) = t on F (s) = 1 / s ja G (s) = 1 / s2 seetõttu peame

Mõned ühised pööratud Laplace'i teisendused on järgmised

Peale selle on vastupidine Laplace'i transformatsioon lineaarne, see tähendab, et see on täidetud

Harjutus

Leia

Selle harjutuse lahendamiseks peame sobima funktsiooniga F (s) ühe eelmise tabeliga. Sellisel juhul, kui võtame n + 1 = 5 ja kasutame pöördvõrdelise transformatsiooni lineaarsust, siis korrutame ja jagame 4-ga! Kuidas saada

Teise pöördtehingu jaoks rakendame funktsiooni F (s) ümberkirjutamiseks osalist fraktsiooni ja seejärel lineaarsuse omadust.

Nagu nendest näidetest näha on, on tavaline, et hinnatud F funktsioon (id) ei ole täpselt nõus tabelis esitatud funktsioonidega. Nendel juhtudel piisab, kui see on täheldatud, funktsiooni ümberkirjutamine kuni sobiva vormi saavutamiseni.

Laplace'i teisenduse rakendused

Diferentsiaalvõrrandid

Laplace'i transformatsioonide peamine rakendus on diferentsiaalvõrrandite lahendamine.

Derivaadi transformatsiooni omaduse kasutamine on selge, et

Ja n-1 derivaatidest, mida hinnati t = 0 juures.

See omadus muudab transformatsiooni väga kasulikuks algväärtuse probleemide lahendamisel, kus on tegemist konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrranditega.

Järgmised näited näitavad, kuidas kasutada Laplace'i teisendit diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.

Näide 1

Arvestades järgmist algväärtuse probleemi

Lahenduse leidmiseks kasutage Laplace'i teisendit.

Iga diferentsiaalvõrrandi liikmele rakendame Laplace'i teisendit

Olemasoleva tuletisinstrumendi ümberkujundamise vara jaoks

Kogu väljenduse ja kliiringu arendamisega Ja me oleme jäänud

Osalise fraktsiooni kasutamine saadud võrrandi paremal ümberkirjutamisel

Lõpuks on meie eesmärk leida funktsioon y (t), mis vastab diferentsiaalvõrrandile. Pöörleva Laplace'i teisenduse kasutamine annab meile tulemuse

Näide 2

Lahenda

Nagu eelmisel juhul, rakendame teisendust võrrandi mõlemal poolel ja eraldi tähtaega.

Sel viisil on meil tulemuseks

Asendades antud algväärtused ja puhastades Y (d)

Lihtsate fraktsioonide abil saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt

Selle tulemusena saadakse Laplace'i pöördtransformatsiooni rakendamine

Nendes näidetes võib jõuda valele järeldusele, et see meetod ei ole palju parem kui traditsioonilised meetodid diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.

Laplace'i transformatsiooni pakutavad eelised on, et parameetri variatsiooni ei ole vaja kasutada või ebamääraste koefitsientide meetodi puhul muretseda.

Lisaks algväärtuse probleemide lahendamisele selle meetodiga kasutame algusest peale algtingimusi, seega ei ole vaja konkreetset lahendust leida teiste arvutustega..

Diferentsiaalvõrrandid

Laplace'i teisendit saab kasutada ka samaaegsete tavaliste diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmiseks, nagu on toodud järgnevas näites.

Näide

Lahenda

Algtingimustega x (0) = 8 e ja (0) = 3.

Kui me peame seda tegema

Siis

Tulemuste lahendamine

Ja kui rakendame Laplace'i pöördtehingut, on meil olemas

Mehaanika ja elektriskeemid

Laplace'i transformatsioon on füüsikas väga oluline, peamiselt mehaaniliste ja elektriliste ahelate rakendusi.

Lihtne elektriskeem koosneb järgmistest elementidest

Lüliti, aku või allikas, induktor, takisti ja kondensaator. Kui lüliti on suletud, tekitatakse elektrivool, mida tähistab i (t). Kondensaatori laengut tähistab q (t).

Kirchhoffi teise seadusega peab allika E poolt suletud ahelale tekitatud pinge olema võrdne iga pingelanguse summaga.

Elektrivool i (t) on seotud kondensaatori laenguga q (t) i = dq / dt. Teisest küljest on pinge langus määratletud igas elemendis järgmiselt:

Pinge langus takisti juures on iR = R (dq / dt)

Pinge langus induktiivpoolis on L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Pinge langus kondensaatoris on q / C

Nende andmetega ja teise Kirchhoffi seaduse rakendamisega suletud lihtsale ahelale saadakse teine ​​järjekordne diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab süsteemi ja võimaldab meil määrata q (t) väärtuse..

Näide

Induktiivpool, kondensaator ja takisti on ühendatud patareiga E, nagu on näidatud joonisel. Induktiivpool on 2 kana, 0,02 karjamaa kondensaator ja 16-kordseks takistuseks. Ajahetkel t = 0 on ahel suletud. Leidke koormus ja vool igal ajal t> 0, kui E = 300 volti.

Meil on, et diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab seda ahelat, on järgmine

Kui algtingimused on q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Rakendades Laplace'i teisendust saame selle

Ja Q (t) tühjendamine

Seejärel rakendame vastupidist Laplace'i transformatsiooni

Viited

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace'i transformatsioon elektroonikainseneridele. Lubi.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Diferentsiaalvõrrandid ja Laplace'i teisendus rakendustega. Toimetus UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Diferentsiaalvõrrandid rakenduste ja ajalooliste märkustega. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace'i teisendused. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Diferentsiaalvõrrandid väärtuste probleemidega piiril. Cengage Learning Editores, S.A..