Bayesi teoreemi selgitus, rakendused, harjutused



The Bayesi teoreem on menetlus, mis võimaldab meil väljendada juhusliku sündmuse A antud B tingimuslikku tõenäosust sündmuse B tõenäosusjaotuse A ja ainult A tõenäosusjaotuse osas..

See teoreem on väga kasulik, sest tänu sellele saame seostada tõenäosust, et sündmus A esineb, teades, et B juhtus, tõenäosusega, et vastupidine juhtub, st et B juhtub A-ga.

Bayesi teoreem oli 18. sajandi inglise teoloogi, kes oli ka matemaatik, härra Thomas Bayesi hõbedane ettepanek. Ta oli paljude teoloogiateoste autor, kuid on praegu tuntud paari matemaatilise trükise kohta, mille peamiseks tulemuseks on ülalmainitud Bayesi teoreem..

Bayes käsitles seda teemat 1763. Aastal avaldatud raamatus "Essee poole probleemi lahendamise probleemi lahendamiseks", millele on välja töötatud suured tööd, et lahendada võimaluste doktriinis probleem. Uuringud rakendustega erinevates teadmiste valdkondades.

Indeks

  • 1 Selgitus
  • 2 Bayesi lause rakendused
    • 2.1 Lahendatud harjutused
  • 3 Viited

Selgitus

Esiteks, selle teoreemi edasiseks mõistmiseks on vaja mõningaid tõenäosusteooria põhimõisteid, eriti tingimuse tõenäosuse korrutustegurit, mis ütleb, et

E ja A juhuslike sündmuste korral prooviruumis S.

Ja partitsioonide määratlus, mis ütleb meile, et kui meil on A1 ,A2,..., An näidisruumi S sündmused, need moodustavad S-i partitsiooni, kui Ai nad on üksteist välistavad ja nende liit on S.

Seda tehes olgu B teine ​​sündmus. Siis näeme B-d

Kui Ai B-ga ristuvad üksteist välistavad sündmused.

Ja järelikult,

Seejärel rakendades korrutustegurit

Teisest küljest määrab Ai antud B tingimusliku tõenäosuse

Piisavalt asendades me peame iga i jaoks

Bayesi lause rakendused

Tänu sellele on teadusgrupid ja erinevad ettevõtted suutnud parandada teadmistel põhinevaid süsteeme.

Näiteks haiguste uurimisel võib Bayesi teoreem aidata tuvastada tõenäosust, et haigus leitakse teatud omadustega inimeste rühmas, võttes andmeid haiguse globaalsete määrade kohta ja nimetatud omaduste ülekaalust. inimesed nii terved kui ka haiged.

Teisest küljest on kõrgtehnoloogia maailmas mõjutanud suuri ettevõtteid, kes on tänu sellele tulemusele välja töötanud tarkvara "Põhineb teadmistel"..

Iga päev on meil Microsoft Office'i assistent. Bayesi teoreem aitab tarkvaral hinnata probleeme, mida kasutaja esitleb ja määrab, milliseid nõuandeid pakkuda ja seega pakkuda paremat teenust vastavalt kasutaja harjumustele.

Tuleb märkida, et seda valemit ignoreeriti kuni viimase ajani, see on peamiselt tingitud asjaolust, et kui see tulemus oli välja töötatud 200 aastat tagasi, oli nende jaoks praktiline kasutamine vähe. Kuid tänapäeval on tänu suurele tehnoloogilisele arengule teadlased saavutanud viise selle tulemuse rakendamiseks.

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Rakulisel ettevõttel on kaks masinat A ja B. 54% toodetud mobiiltelefonidest valmistatakse masinaga A ja ülejäänud masin B abil. Kõik toodetud mobiiltelefonid ei ole heas seisukorras.

A-tüüpi defektsete mobiiltelefonide osakaal on 0,2 ja B on 0,5. Mis on tõenäosus, et nimetatud tehase mobiiltelefon on defektne? Mis on tõenäosus, et teades, et mobiiltelefon on defektne, tuleb see masinalt A?

Lahendus

Siin on teil katse, mis tehakse kahes osas; esimeses osas toimuvad sündmused:

A: masina A poolt tehtud mobiiltelefon.

B: masin B tehtud mobiiltelefon.

Kuna masin A toodab 54% mobiiltelefone ja ülejäänud toodab masin B, siis masin B toodab 46% mobiiltelefonidest. Nende sündmuste tõenäosused on esitatud, nimelt:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Eksperimendi teise osa sündmused on järgmised:

D: defektne rakk.

E: mitte defektne rakk.

Nagu avalduses on öeldud, sõltuvad nende sündmuste tõenäosused esimeses osas saadud tulemusest:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Neid väärtusi kasutades saate määrata ka nende sündmuste täienduste tõenäosuse, st:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

ja

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nüüd saab sündmuse D kirjutada järgmiselt:

Kasutades tingimuse tõenäosuse korrutustegurit, saadakse:

Millega vastatakse esimesele küsimusele.

Nüüd peame lihtsalt arvutama P (A | D), mille puhul kehtib Bayesi lause:

Tänu Bayesi teoreemile võib öelda, et tõenäosus, et mobiiltelefon on tehtud masina A poolt, teades, et mobiiltelefon on defektne, on 0,319.

Harjutus 2

Kolm kasti sisaldavad valget ja musta palli. Igaüks neist koosneb järgmisest: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Üks kastidest valitakse juhuslikult ja sellest juhitakse juhuslik pall, mis osutub valgeks. Kumb on kõige tõenäolisemalt valitud kast?

Lahendus

U1, U2 ja U3 kaudu esindame ka valitud kasti.

Need sündmused moodustavad S sektsiooni ja kontrollitakse, et P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, kuna kasti valik on juhuslik.

Kui B = ekstraheeritud pall on valge, on meil P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Mida me tahame saada, on tõenäosus, et pall võeti välja kastist Ui, teades, et pall oli valge, see tähendab P (Ui | B), ja vaata, milline neist kolmest väärtusest oli kõige suurem, et teada saada, millist kast on tõenäoliselt valge palli väljavõtmine.

Bayesi lause rakendamine esimesele kastile:

Ja ülejäänud kahe jaoks:

P (U2 | B) = 2/6 ja P (U3 | B) = 1/6.

Seejärel on esimene kastidest see, millel on suurem tõenäosus valida valge palli ekstraheerimiseks.

Viited

  1. Kai Lai Chung Elementaarne teostatavuse teooria stohhastiliste protsessidega. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskreetne matemaatika ja selle rakendused. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Tõenäosus ja statistilised rakendused. S.A. MEXIKAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 diskreetne matemaatika lahendatud probleemid. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Tõenäosuse teooria ja probleemid. McGRAW-HILL.