Toote rist omadused, rakendused ja lahendatud harjutused



The Risttoote või toote vektor See on viis, kuidas korrutada kahte või enamat vektorit. Vektorite paljundamiseks on kolm võimalust, kuid ükski neist ei ole sõna tavapärases tähenduses korrutamine. Üks nendest vormidest on tuntud vektorproduktina, mille tulemuseks on kolmas vektor.

Vektoriproduktil, mida nimetatakse ka ristsaaduseks või väliseks tooteks, on erinevad algebralised ja geomeetrilised omadused. Need omadused on väga kasulikud, eriti füüsika uurimisel.

Indeks

  • 1 Määratlus
  • 2 Atribuudid
    • 2.1 Kinnisvara 1
    • 2.2 Kinnisvara 2
    • 2.3 Kinnisvara 3
    • 2.4 Kinnisvara 4 (kolmekordne skalaarne toode)
    • 2.5 Kinnisvara 5 (kolmekordne vektoritoode)
    • 2.6 Vara 6
    • 2.7 Vara 7
    • 2.8 Vara 8
  • 3 Rakendused
    • 3.1 Rööptahuka suuruse arvutamine
  • 4 Harjutused lahendatud
    • 4.1 Harjutus 1
    • 4.2 Harjutus 2
  • 5 Viited

Määratlus

Vektoriprodukti ametlik määratlus on järgmine: kui A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3) on vektorid, siis A ja B vektoritoode, mida me tähistame kui AxB, on:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Märgistuse AxB tõttu on see "A-rist".

Näide välise toote kasutamise kohta on see, et kui A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4) on vektorid, siis kasutame vektori toote määratlust:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Teine võimalus vektorprodukti avaldamiseks on määratud determinantide märkega.

Teise järjekorra determinant arvutatakse järgmiselt:

Seetõttu saab definitsioonis esitatud vektori toote valemit ümber kirjutada järgmiselt:

Seda lihtsustatakse tavaliselt kolmanda järjekorra determinantis järgmiselt:

Kus i, j, k kujutavad R-i aluseks olevat vektorit3.

Kasutades seda risttoote väljendamise viisi, on meil eelmine näide võimalik ümber kirjutada järgmiselt:

Omadused

Mõned omadused, mida vektoritoode omab, on järgmised:

Kinnisvara 1

Kui A on mis tahes vektor R-s3, Peame:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Neid omadusi on lihtne kontrollida ainult määratluse abil. Kui A = (a1, a2, a3) peame:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Kui i, j, k esindavad R ühiku baasi3, Me saame neid kirjutada järgmiselt:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Seejärel peame täitma järgmised omadused:

Mnemonüümseks reegliks on nende omaduste mäletamiseks tavaliselt järgmine ring:

Seal peaksime me märkima, et iga vektor ise annab tulemuseks vektori 0 ja ülejäänud tooted saadakse järgmiste reeglitega:

Kahe järjestikuse vektori risttoode päripäeva suunas annab järgmise vektori; ja vastupäeva silmas pidades on tulemuseks järgmine negatiivse märgiga vektor.

Tänu nendele omadustele näeme, et vektorprodukt ei ole kommutatiivne; näiteks piisab, kui märkate, et i x j ≠ j x i. Järgmine omadus ütleb meile, kuidas AxB ja BxA on üldiselt seotud.

Kinnisvara 2

Kui A ja B on R-vektorid3, Peame:

AxB = - (BxA).

Demonstreerimine

Kui A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), siis on meil välise toote määratluse järgi:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Samuti võime täheldada, et see toode ei ole seotud järgmise näitega:

ix (ixj) = ixk = - j, kuid (ixi) xj = 0xj = 0

Sellest võib täheldada, et:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Kinnisvara 3

Kui A, B, C on R-vektorid3 ja r on reaalarv, järgmine on tõene:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = telg (rB)

Tänu nendele omadustele saame arvutada vektori toote algebra seadustega, eeldusel, et tellimust järgitakse. Näiteks:

Kui A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4), saame need kirjutada R-i kanoonilise aluse alusel.3.

Seega A = i + 2j + 3k ja B = 3i - 2j + 4k. Seejärel rakendage eelmisi omadusi:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Kinnisvara 4 (kolmekordne skalaari toode)

Nagu me alguses mainisime, on vektorite tootmisel vektorite paljundamiseks ka teisi viise. Üks neist viisidest on skalaarne toode või sisetoode, mida tähistatakse kui A ∙ B ja mille määratlus on:

Kui A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), siis A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Mõlemat toodet puudutav omadus on tuntud kui kolmekordne skalaarne toode.

Kui A, B ja C on R-vektorid3, siis A ∙ BxC = AxB ∙ C

Näitame näiteks, et antud A on (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), see omadus on täidetud.

BxC = - 3 k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A x BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Teiselt poolt:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Teine kolmekordne toode on Ax (BxC), mida tuntakse kolmekordse vektori tootena.

Kinnisvara 5 (kolmekordne vektoritoode)

Kui A, B ja C on R-vektorid3,  seejärel:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Näitame näiteks, et antud A on (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), see omadus on täidetud.

Eelmisest näitest teame, et BxC = (- 18, - 22, 17). Arvutame Axi (BxC):

Ax (BxC) = - 22 k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Teisest küljest peame:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Seega peame:

(A ° C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Kinnisvara 6

See on vektorite üks geomeetrilisi omadusi. Kui A ja B on kaks vektorit R-s3 ja Θ on nende vahel moodustatud nurk, seejärel:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kus || ∙ || tähistab vektori moodulit või suurust.

Selle omaduse geomeetriline tõlgendus on järgmine:

Olgu A = PR ja B = PQ. Seejärel on vektorite A ja B moodustatud nurk kolmnurga RQP nurk P, nagu on näidatud järgmises joonisel.

Seetõttu on paralleelogrammi pindala külgnevate külgedega PR ja PQ || A |||| B || sin (Θ), sest me võime võtta aluseks || A || ja selle kõrgust annab || B || sin (Θ).

Seetõttu võime järeldada, et || AxB || on nimetatud rööpküliku ala.

Näide

Võttes arvesse nelinurga P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) ja S (5,7, -3) järgmisi tipusid, näitavad, et nimetatud nelinurk on rööpkülik ja leida selle ala.

Selleks määratleme kõigepealt vektorid, mis määravad nelinurga külgede suuna. See on:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Nagu me võime täheldada, on A-l ja C-l sama vektorijuhi, mille jaoks on mõlemad paralleelsed; samamoodi nagu juhtub B ja D puhul. Seetõttu järeldame, et PQRS on paralleelogramm.

Rööpküliku pindala arvutamiseks arvutame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Seetõttu on ruudukujuline ala järgmine:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Võib järeldada, et rööpküliku pindala on 89 ruutjuur.

Kinnisvara 7

Rektoris on paralleelsed kaks vektorit A ja B3 jah ja ainult siis, kui AxB = 0

Demonstreerimine

On selge, et kui A või B on nullvektor, siis järeldub, et AxB = 0. Kuna nullvektor on paralleelne mõne teise vektoriga, siis on omadus kehtiv.

Kui ükski kahest vektorist ei ole nullvektor, siis on nende suurused nullist erinevad; see tähendab, et mõlemad || A || ≠ 0 kui || B || ≠ 0, seega peame || AxB || = 0 kui ja ainult siis, kui sin (Θ) = 0 ja see juhtub siis ja ainult siis, kui Θ = π või Θ = 0.

Seega võime järeldada, et AxB = 0 on ja ainult siis, kui Θ = π või Θ = 0, mis juhtub ainult siis, kui mõlemad vektorid on üksteisega paralleelsed.

Kinnisvara 8

Kui A ja B on kaks vektorit R-s3, siis AxB on risti nii A kui ka B suhtes.

Demonstreerimine

Selle demonstratsiooni puhul pidage meeles, et kaks vektorit on risti, kui A ∙ B on võrdne nulliga. Lisaks teame, et:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, kuid AxA on võrdne 0. Seetõttu peame:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Sellega võime järeldada, et A ja AxB on üksteise suhtes risti. Analoogselt peame:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Kuna BxB = 0, peame:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Seetõttu on AxB ja B üksteise suhtes risti ja sellega tõestatakse vara. See on väga kasulik, sest need võimaldavad meil kindlaks määrata tasandi võrrandi.

Näide 1

Punkti P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ja R (2, 1, 3) läbiva tasandi võrrand.

Olgu A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ja B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Seejärel A = - i + 3j + k ja B = i - 2j + k. Nende kolme punkti poolt moodustatud taseme leidmiseks piisab tasapinnale normaalsest vektorist, mis on AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Selle vektoriga ja punkti P (1, 3, 2) kasutades saame määrata tasandi võrrandi järgmiselt:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Niisiis, meil on, et tasandi võrrand on 5x + 2y - z - 9 = 0.

Näide 2

Leia tasapind P, mis sisaldab punkti P (4, 0, - 2) ja mis on risti iga tasandiga x - y + z = 0 ja 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Teades, et normaalne vektor tasandile ax + + cz + d = 0 on (a, b, c), on meil, et (1, -1,1) on normaalne vektor x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) on normaalne vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Seetõttu peab soovitud tasapinna normaalne vektor olema risti (1, -1,1) ja a (2, 1, - 4) suhtes. Nimetatud vektor on:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Siis on meil, et soovitud lennuk on punkt P (4,0, - 2) ja selle vektor (3,6,3) on normaalne vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Rakendused

Rööptahuka mahu arvutamine

Taotlus, millel on kolmekordne skalaarne toode, peab suutma arvutada paralleelkalde suuruse, mille servad on antud vektorite A, B ja C poolt, nagu on näidatud joonisel:

Seda rakendust võime järeldada järgmiselt: nagu me eelnevalt ütlesime, on vektor AxB vektor, mis on normaalne A ja B tasapinna suhtes. Meil ​​on ka see, et vektor - (AxB) on teine ​​vektor, mis on nimetatud tasapinna suhtes normaalne.

Me valime normaalse vektori, mis moodustab vektoriga C väikseima nurga; ilma üldise kaotamiseta laske AxB olla vektor, mille nurk C-ga on väikseim.

Meil on nii AxB kui C sama lähtepunkt. Lisaks teame, et rööpküliku ala, mis moodustab rööptahvli aluse, on || AxB ||. Seega, kui rööptahukakõrguse kõrgus on h, siis on meil, et selle maht on:

V = || AxB || h.

Teisest küljest vaadake skalaarset toodet AxB ja C vahel, mida saab kirjeldada järgmiselt:

Kuid trigonomeetriliste omadustega on meil h = || C || cos (Θ), seega peame:

Sel viisil peame:

Üldiselt on meil, et rööptahukahulga maht on kolmekordse skalaarse toote AxB B C absoluutväärtus..

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Arvestades punkte P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ja S = (2, 6, 9), moodustavad need punktid paralleelsed, mille servad nad on PQ, PR ja PS. Määrake rööptahukahulga ruumala.

Lahendus

Kui me võtame:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Kasutades kolmekordse skalaari toote omadust, peame:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Seetõttu on meil, et nimetatud paralleelkõrva maht on 52 ° C.

Harjutus 2

Määrake rööpkülvi ruumala, mille servad on A = PQ, B = PR ja C = PS, kus punktid P, Q, R ja S on (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ja (2, 2, 5).

Lahendus

Kõigepealt on meil A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Arvutame AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Seejärel arvutame AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Seega jõuame järeldusele, et nimetatud rööptahukakihi maht on 1 kuupmeeter.

Viited

  1. Leithold, L. (1992). ARVUTAMINE Analüütilise geomeetriaga. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mehhiko: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektori arvutus 1. Hüpotenus.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorianalüüs 2. Mc Grawi mägi.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Erinevate muutujate arvutamine 4ed. Mc Grawi mägi.