Diskreetne matemaatika, mida nad teenindavad, komplektide teooria



The diskreetne matemaatika vastavad matemaatika valdkonnale, mis vastutab looduslike numbrite kogumi uurimise eest; see tähendab piiratud ja lõpmatu loendatavate numbrite kogumit, kus elemente saab ükshaaval lugeda.

Need komplektid on tuntud kui diskreetsed komplektid; Nende komplektide näited on terved numbrid, graafikud või loogilised väljendid ja neid rakendatakse erinevates teadusharudes, peamiselt arvutite või arvutite puhul..

Indeks

  • 1 Kirjeldus
  • 2 Milleks on diskreetne matemaatika??
    • 2.1 Kombinatoorne
    • 2.2 Diskreetse jaotuse teooria
    • 2.3 Teabe teooria
    • 2.4 Arvutustehnika
    • 2.5 Krüptograafia
    • 2.6 Loogika
    • 2.7 Graafikute teooria
    • 2.8 Geomeetria
  • 3 Komplektide teooria
    • 3.1 Piiratud komplekt
    • 3.2 Lõpmatu arvestuskomplekt
  • 4 Viited

Kirjeldus

Diskreetse matemaatika protsessid on loendatavad koguarvude põhjal. See tähendab, et kümnendnumbrit ei kasutata ja seetõttu ei kasutata lähendamist ega piirmäärasid, nagu teistes valdkondades. Näiteks võib üks tundmatu olla võrdne 5 või 6, kuid mitte kunagi 4.99 või 5.9.

Teisest küljest on graafilises esituses muutujad diskreetsed ja antakse piiratud hulgast punktidest, mida loetakse ükshaaval, nagu on näha pildist:

Diskreetne matemaatika sünnib vajadusest saada täpne uuring, mida saab kombineerida ja testida, et seda rakendada erinevates valdkondades.

Milleks on diskreetne matemaatika??

Diskreetset matemaatikat kasutatakse mitmes valdkonnas. Peamised neist on järgmised:

Kombinatoorne

Uurige piiratud komplekte, kus elemente saab tellida või kombineerida ja loendada.

Diskreetse jaotuse teooria

Uuringu sündmused, mis esinevad ruumides, kus proovid võivad olla loendatavad, kus diskreetsete jaotuste ligikaudseks võrdlemiseks kasutatakse pidevaid jaotusi või muul viisil.

Teabe teooria

See viitab andmete kodeerimisele, mida kasutatakse andmete, nagu näiteks analoogsignaalide kavandamisel ja edastamisel.

IT

Diskreetse matemaatika abil lahendatakse probleemid algoritmide abil, samuti uuritakse, mida on võimalik arvutada, ja aega, mis kulub selleks (keerukus)..

Diskreetse matemaatika tähtsus selles valdkonnas on viimastel aastakümnetel kasvanud, eriti programmeerimiskeelte ja - arenduste arendamisel tarkvara.

Krüptograafia

See põhineb diskreetsel matemaatikal, et luua turvalisuse struktuure või krüpteerimismeetodeid. Selle rakenduse näide on paroolid, mis sisaldavad eraldi informatsiooni sisaldavaid bitte.

Uuringu kaudu võivad täisarvude ja algarvude (arvuteooria) omadused neid turvameetodeid luua või hävitada.

Loogika

Kasutatakse diskreetseid struktuure, mis tavaliselt moodustavad lõpliku komplekti, et tõestada teoreeme või näiteks kontrollida tarkvara.

Graafikateooria

See võimaldab lahendada loogilisi probleeme, kasutades sõlme ja jooni, mis moodustavad graafiku tüübi, nagu on näidatud järgmises pildis:

See on ala, mis on tihedalt seotud diskreetse matemaatikaga, sest algebralised väljendid on diskreetsed. Selle kaudu töötatakse välja elektroonilised ahelad, protsessorid, programmeerimine (Boole'i ​​algebra) ja andmebaasid (relatsioonialgebra)..

Geomeetria

Uurige geomeetriliste objektide kombinatoorseid omadusi, näiteks tasapinna katmist. Teisest küljest võimaldab arvutusgeomeetria arendada geomeetrilisi probleeme, kasutades algoritme.

Komplektide teooria

Diskreetse matemaatika komplektid (lõplikud ja lõputud numbrid) on uuringu peamine eesmärk. Komplektide teooria avaldas George Cantor, kes näitas, et kõik lõpmatud komplektid on sama suurusega.

Komplekt on elemendid (numbrid, asjad, loomad ja inimesed), mis on hästi määratletud; see tähendab, et on olemas seos, mille kohaselt iga element kuulub komplekti ja on väljendatud näiteks ∈ A-ks.

Matemaatikas on erinevad komplektid, mis grupeerivad teatud numbreid vastavalt nende omadustele. Nii on teil näiteks:

- Looduslike numbrite komplekt N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Täisarvude komplekt E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Ratsionaalarvude alamhulk Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Reaalarvude kogum R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Komplektid on tähistatud tähestiku tähtedega, mis on kapitaliseeritud; kui elemendid nimetatakse väiketähtedega, traksid () ja eraldatakse komadega (,). Need on tavaliselt esitatud diagrammides nagu Venn ja Caroll, samuti arvutuslikult.

Põhifunktsioonide, nagu ametiühingu, ristmiku, komplementi, erinevuse ja Cartesiuse toote puhul hallatakse komplekte ja nende elemente sõltuvuse suhte alusel.

Komplektid on mitut liiki, diskreetse matemaatika kõige rohkem uuritud on järgmised:

Lõplik komplekt

Sellel on piiratud arv elemente ja see vastab loomulikule numbrile. Nii näiteks on A = 1, 2, 3,4 lõplik komplekt, millel on 4 elementi.

Lõpmatu arvestuskomplekt

See on see, kus on olemas seos komplekti elementide ja looduslike numbrite vahel; see tähendab, et elemendist saab järjestikust järjestada kõik komplekti elemendid.

Sel viisil vastab iga element looduslike numbrite kogumi igale elemendile. Näiteks:

Täisarvude kogum Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... võib olla loetletud kui Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Sel viisil on võimalik teha üks-ühele vastavus Z elementide ja looduslike numbrite vahel, nagu on näidatud järgmises pildis:

See on meetod, mida kasutatakse pidevate probleemide (mudelid ja võrrandid) lahendamiseks, mis tuleb teisendada diskreetseteks probleemideks, kus lahendus on teada pideva probleemi lahenduse lähendamisega.

Teisel viisil vaadeldes püüab diskretiseerimine piiritletud kogust välja tuua lõpmatu punktide hulgast; sel viisil muudetakse pidev üksus üksikseadmeks.

Üldiselt kasutatakse seda meetodit arvulises analüüsis, näiteks diferentsiaalvõrrandi lahenduses, funktsiooni abil, mida esindab oma domeenis piiratud arv andmeid isegi siis, kui see on pidev.

Teine näide diskretiseerimisest on selle kasutamine analoogsignaali teisendamiseks digitaalseks, kui pidevad signaalühikud muundatakse individuaalseteks ühikuteks (need on diskreetitud) ning seejärel kodeeritakse ja kvantiseeritakse digitaalse signaali saamiseks..

Viited

  1. Grimaldi, R. P. (1997). Diskreetne ja kombinatoorne matemaatika. Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Diskreetne matemaatika Reverte.
  3. Jech, T. (2011). Määrake teooria. Stanfordi filosoofia enciklopeedia.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, A. G. (2014). Diskreetne matemaatika: rakendused ja harjutused. Patria Toimetusgrupp.
  5. Landau, R. (2005). Arvutustehnika, esimene teaduskursus.
  6. Merayo, F. G. (2005). Diskreetne matemaatika. Thomson Editorial.
  7. Rosen, K. H. (2003). Diskreetne matemaatika ja selle rakendused. McGraw-Hill.
  8. Schneider, D. G. (1995). Loogiline lähenemine diskreetsele matemaatikale.