Osalised fraktsioonid ja näited



The osalised fraktsioonid need on fraktsioonid, mille moodustavad polünoomid, mille nimetaja võib olla lineaarne või ruutnurkne polünoom ja lisaks sellele võib seda suurendada mõnele võimsusele. Mõnikord, kui meil on ratsionaalsed funktsioonid, on see funktsioon kasulik ümber kirjutada osaliste fraktsioonide või lihtsate fraktsioonide summana.

See on nii, sest sel viisil saame neid funktsioone paremini käsitseda, eriti nendel juhtudel, kui on vaja seda rakendust integreerida. Ratsionaalne funktsioon on lihtsalt kahe polünoomi vaheline suhe ja võib olla õige või vale.

Kui lugeja polünoomi aste on nimetajast väiksem, nimetatakse seda oma ratsionaalseks funktsiooniks; vastasel juhul tuntakse seda kui sobimatut ratsionaalset funktsiooni.

Indeks

  • 1 Määratlus
  • 2 Juhtumid
    • 2.1 1. juhtum
    • 2.2 Juhtum 2
    • 2.3 3. juhtum
    • 2.4 4. juhtum
  • 3 Rakendused
    • 3.1 Põhjalik arvutus
    • 3.2 Massihagi seadus
    • 3.3 Diferentsiaalvõrrandid: logistiline võrrand
  • 4 Viited

Määratlus

Kui meil on vale ratsionaalne funktsioon, saame jagada lugeja polünoomi nimetaja polünoomi vahel ja seega kirjutada fraktsiooni p (x) / q (x) ümber jaotuse algoritmi t (x) + s (x) / q (x), kus t (x) on polünoom ja s (x) / q (x) on omaenda ratsionaalne funktsioon.

Osaline fraktsioon on mistahes õige polünoomide funktsioon, mille nimetaja on vormi (ax + b)n o (kirves2+ bx + c)n, kui polünoomi kirves2 + bx + c-l pole tegelikke juure ja n on loomulik arv.

Ratsionaalse funktsiooni ümberkirjutamiseks osalistes fraktsioonides on esimene asi, et nimetada nimetaja q (x) lineaarsete ja / või kvadraatlike tegurite tulemusena. Kui see on tehtud, määratakse kindlaks osalised fraktsioonid, mis sõltuvad nimetatud tegurite iseloomust.

Juhtumid

Me peame mitmeid juhtumeid eraldi.

1. juhtum

Q (x) tegurid on kõik lineaarsed ja neid ei korrata. See on:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Seal ei ole lineaarne tegur teistega identne. Sellisel juhul kirjutame:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Kus A1,A2,..., As on konstandid, mida soovite leida.

Näide

Soovime jagada ratsionaalse funktsiooni lihtsateks fraktsioonideks:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Jätkame nimetaja teguriseerimist:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Seejärel:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Vähim levinud mitmekordset rakendust kasutades saate:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Me tahame saada konstantsete A, B ja C väärtused, mis leitakse asendades iga tingimuse tühistavad juured. 0 asendamine x-ga on meil:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Asendaja - 1 x puhul on meil:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Asendaja - 2 x puhul on meil:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Sel viisil saadakse väärtused A = -1/2, B = 2 ja C = -3/2..

A, B ja C väärtuste saamiseks on veel üks meetod. Kui võrrandi x paremal küljel x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x ühendame terminid, meil on:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Kuna see on polünoomide võrdsus, on meil, et vasaku külje koefitsiendid peavad olema võrdsed parema külje koefitsientidega. Selle tulemuseks on järgmine võrrandite süsteem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Selle võrrandisüsteemi lahendamisel saadakse tulemused A = -1/2, B = 2 ja C = -3/2.

Lõpuks asendatakse saadud väärtused:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2. juhtum

Q (x) tegurid on kõik lineaarsed ja mõned korratakse. Oletame, et (ax + b) on korduv kord "s" korda; seejärel vastab sellele tegurile "s" osaliste fraktsioonide summa.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kui As,As-1,..., A1 need on kindlaksmääratavad konstandid. Järgmises näites näitame, kuidas neid konstante määrata.

Näide

Laguneb osaliseks fraktsiooniks:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Kirjutame ratsionaalse funktsiooni osaliste fraktsioonide summa järgmiselt:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Seejärel:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Asendades 2 x-le, peame:

7 = 4C, st C = 7/4.

0 asendamine x-ga on meil:

- 1 = -8A või A = 1/8.

Asendades need väärtused eelmises võrrandis ja arendades, peame:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Ex2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Koefitsientidega sobitades saame järgmise võrrandisüsteemi:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Süsteemi lahendamisel on meil:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Seetõttu peame:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

3. juhtum

Q (x) tegurid on ruutkeskmised lineaarsed, ilma et korratakse korduvat tegurit. Sel juhul on ruuttegur (kirves2 + bx + c) vastab osalisele fraktsioonile (Ax + B) / (kirves)2 + bx + c), kus konstandid A ja B on need, mida soovite määrata.

Järgnev näide näitab, kuidas käesoleval juhul jätkata

Näide

Laguneb lihtsateks fraktsioonideks a (x + 1) / (x3 - 1).

Kõigepealt jätkame nimetaja tegurit, mis annab tulemuseks:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Me näeme seda (x2 + x + 1) on redutseeritav nelinurkne polünoom; see tähendab, et tal ei ole tegelikke juured. Selle lagunemine osalisteks fraktsioonideks on järgmine:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Sellest saame järgmise võrrandi:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Kasutades polünoomide võrdsust, saame järgmise süsteemi:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Sellest süsteemist on A = 2/3, B = - 2/3 ja C = 1/3. Asendaja, peame:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

4. juhtum

Lõpuks on juhtum 4 selline, kus q (x) tegurid on lineaarsed ja ruutkeskmised, kus mõned lineaarsed kvadraalsed tegurid korratakse.

Sel juhul jah (kirves2 + bx + c) on kordne tegur, mis korratakse "s" korda, seejärel tegurile (kirves) vastav osaline fraktsioon2 + bx + c) on:

(A1x + B) / (kirves2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (kirves)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (kirves)2 + bx + c)s

Kui As, As-1,..., A ja Bs, Bs-1,..., B on kindlad konstandid.

Näide

Soovime jaotada järgmise ratsionaalse funktsiooni osalisteks osadeks:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Nagu x2 - 4x + 5 on redutseeritav ruuttegur, meil on, et selle lagunemine osalisteks fraktsioonideks on:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Lihtsustamine ja arendamine on:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Eeltoodust on meil järgmine võrrandite süsteem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B-4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Süsteemi lahendamisel peame:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ja E = - 3/5.

Saadud väärtuste asendamisel on meil:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Rakendused

Põhjalik arvutus

Osalisi fraktsioone kasutatakse peamiselt integreeritud kalkulaatori uurimiseks. Allpool näeme mõningaid näiteid selle kohta, kuidas integraale osaliselt kasutada.

Näide 1

Soovime arvutada:

Näeme, et nimetaja q (x) = (t + 2)2(t + 1) koosneb lineaarsetest teguritest, kus üks neist kordustest; selleks oleme juhtumi 2 puhul.

Peame:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Me kirjutame võrrandi ümber ja meil on:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Kui t = - 1, peame:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Kui t = - 2, annab see meile:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Seejärel, kui t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A ja C väärtuste asendamine:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Eeltoodust on meil B = - 1.

Kirjutame integraali ümber järgmiselt:

Me lahendame selle asendusmeetodi abil:

Selle tulemuseks on:

Näide 2

Lahenda järgmine integraal:

Sel juhul saame teguriks q (x) = x2 - 4 kui q (x) = (x - 2) (x + 2). On selge, et oleme 1. juhul.

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Seda võib väljendada ka järgmiselt:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Kui x = - 2, on meil:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ja kui x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Seega peame lahendama antud integraali samaväärse lahendamise:

See annab meile tulemuse:

Näide 3

Lahenda integraal:

Meil on q (x) = 9x4 + x2 , et me saame teguriks q (x) = x2(9x2 + 1).

Sel juhul on meil korduv lineaarne tegur ja ruuttegur; see tähendab, et oleme 3. juhtumi puhul.

Peame:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Polünoomide võrdsuse rühmitamine ja kasutamine on järgmine:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Sellest võrrandite süsteemist peame:

D = - 9 ja C = 0

Sel viisil on meil:

Eespool nimetatud probleemi lahendamisel on meil:

Massimeetmete seadus

Integreeritud kalkule rakendatud osaliste fraktsioonide huvitav rakendamine on leitud keemias, täpsemalt massimeetme seaduses.

Oletame, et meil on kaks A- ja B-ainet, mis koosnevad ja moodustavad aine C, nii et C-koguse derivaat ajas on proportsionaalne A ja B koguste tootega igal hetkel.

Me võime massimeetmete seadust väljendada järgmiselt:

Selles väljendis α on algväärtus grammides, mis vastavad A-le ja β-le B algset kogust.

Lisaks näitavad r ja s vastavalt A ja B grammide arvu, mis kombineeruvad, moodustades r + s grammi C. Omalt poolt x tähistab aine C grammide arvu ajahetkel t ja K on proportsionaalsuse järjepidevus. Ülaltoodud võrrandit saab ümber kirjutada järgmiselt:

Järgmise muudatuse tegemine:

Meil on, et võrrand muutub:

Sellest väljendist saame:

Kui jah a ≠ b, saab integreerimiseks kasutada osalisi fraktsioone.

Näide

Võtke näiteks aine C, mis tekib aine A ühendamisel B-ga nii, et masside seadus on täidetud, kui a ja b väärtused on vastavalt 8 ja 6. Andke võrrand, mis annab meile C funktsioonide väärtuse aja funktsioonina.

Asendades antud massiseaduse väärtused, on meil:

Muutujate eraldamisel on meil:

Siin saab kirjutada 1 / (8 - x) (6 - x) osaliste fraktsioonide summana järgmiselt:

Seega 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Kui asendame x-ga 6-le, on meil see B = 1/2; ja asendades x 8-ga, on meil A = - 1/2.

Olemasolevate osaliste fraktsioonide integreerimine:

See annab meile tulemuse:

Diferentsiaalvõrrandid: logistiline võrrand

Teine rakendus, mida võib anda osalistele fraktsioonidele, on logistiline diferentsiaalvõrrand. Lihtsates mudelites on meil, et populatsiooni kasvumäär on proportsionaalne selle suurusega; see on:

See juhtum on ideaalne ja seda peetakse realistlikuks, kuni juhtub, et süsteemi olemasolevad vahendid ei ole elanikkonna säilitamiseks piisavad.

Nendes olukordades on mõistlikum arvata, et on olemas maksimaalne võimsus, mida me L-le nimetame, et süsteem suudab säilitada ja et kasvumäär on proportsionaalne elanikkonna suurusega korrutatuna olemasoleva suurusega. See argument viib järgmise diferentsiaalvõrrandi:

Seda väljendit nimetatakse logistiliseks diferentsiaalvõrrandiks. See on eraldatav diferentsiaalvõrrand, mida saab lahendada integreerimise meetodiga osaliste fraktsioonidega.

Näide

Näiteks võiks kaaluda populatsiooni, mis kasvab vastavalt järgmisele logistilisele diferentsiaalvõrrandile y '= 0.0004y (1000 - y), mille esialgsed andmed on 400. Tahame teada elanikkonna suurust ajal t = 2, kus t mõõdetakse aastaid.

Kui me kirjutame a ja 'Leibnizi märke funktsioonina, mis sõltub t-st, peame:

Vasaku külje integraali saab lahendada integreerimise meetodi abil osaliste fraktsioonide abil:

Viimast võrdsust saab ümber kirjutada järgmiselt:

- Y = 0 asendamine on A 1/1000.

- Asendades y = 1000, on meil B võrd 1/1000.

Nende väärtustega jäetakse integraal järgmiselt:

Lahendus on:

Algandmete kasutamine:

Kliirimisel ja oleme lahkunud:

Siis on meil see t = 2:

Kokkuvõtteks võib öelda, et kahe aasta pärast on rahvastiku suurus ligikaudu 597,37.

Viited

  1. A, R. A. (2012). Matemaatika 1. Andide ülikool. Väljaannete nõukogu.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 lahendatud integraalid. Tachira riiklik eksperimentaalne ülikool.
  3. Leithold, L. (1992). ARVUTAMINE Analüütilise geomeetriaga. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Arvutamine. Mehhiko: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Põhjalik arvutus. Hüpotenus.