Järjestikused tuletisinstrumendid (lahendatud harjutustega)

The järjestikused derivaadid on teise derivaadi funktsiooni derivaadid. Järjestikuste derivaatide arvutamise protsess on järgmine: meil on funktsioon f, mille saame tuletada ja saada derivaatfunktsioon f '. Selle f derivaadi jaoks saame selle uuesti tuletada, saades (f ')'.

Seda uut funktsiooni nimetatakse teiseks derivaadiks; kõik teisest teisest arvutatud tuletised on järjestikused; Neil, mida nimetatakse ka kõrgemaks järjekorraks, on suured rakendused, näiteks informatsiooni edastamine graafiku graafiku kohta, teise tuletisinstrumendi suhteline äärmuslikkus ja lõpmatu seeria määramine.

Indeks

• 1 Määratlus
  • 1.1 Näide 1
  • 1.2 Näide 2
• 2 Kiirus ja kiirendus
  • 2.1 Näide 1
  • 2.2 Näide 2
• 3 Rakendused
  • 3.1 Lihtsustatud tuletamine
  • 3.2 Näide
  • 3.3 Suhtelised otsad
  • 3.4 Näide
  • 3.5 Taylori seeria
  • 3.6 Näide
• 4 Viited

Määratlus

Leibnizi märke kasutades on meil, et funktsiooni "ja" derivaat "x" suhtes on dy / dx. Teise „ja“ derivaadi väljendamiseks Leibnizi märke abil kirjutame me järgmiselt:

Üldiselt saame Leibnizi märke abil väljendada järjestikuseid derivaate järgmiselt, kus n on derivaadi järjekord.

Muud kasutatud märked on järgmised:

Mõned näited, kus näeme erinevaid märkeid, on järgmised:

Näide 1

Hankige kõik funktsiooni f derivaadid, mille määravad:

Kasutades tavalisi tuletamismeetodeid, on meil, et f derivaat on:

Protsessi kordades saame teise tuletise, kolmanda derivaadi jne.

Pange tähele, et neljas tuletisinstrument on null ja nulli derivaat on null, seega peame:

Näide 2

Arvutage järgmise funktsiooni neljas derivaat:

Selle funktsiooni tuletamine on tulemuseks:

Kiirus ja kiirendus

Üks motivatsioon, mis viis tuletise avastamiseni, oli otsese kiiruse määratluse otsimine. Ametlik määratlus on järgmine:

Olgu y = f (t) funktsioon, mille graafik kirjeldab osakese trajektoori hetkega t, siis annab selle kiirus hetkel t:

Pärast osakese kiiruse saamist saame arvutada hetkekiirenduse, mis on defineeritud järgmiselt:

Osakese, mille tee on antud y = f (t), hetkekiirendus on:

Näide 1

Osakesed liiguvad liinil vastavalt asukoha funktsioonile:

Kui "y" mõõdetakse meetrites ja "t" sekundites.

- Millisel hetkel on teie kiirus 0?

- Millisel hetkel on teie kiirendus 0?

Asukohafunktsiooni "ja" tuletamisel on selle kiirus ja kiirendus vastavalt:

Esimesele küsimusele vastamiseks piisab, kui määrata, millal funktsioon v muutub nulliks; see on:

Jätkame järgmise küsimusega analoogselt:

Näide 2

Osakesed liiguvad liinil vastavalt järgmisele liikumise võrrandile:

Määrake "t, y" ja "v", kui a = 0.

Teades, et kiirus ja kiirendus on antud

Jätkame ja saame:

Tehes a = 0, on meil:

Sellest võib järeldada, et t väärtus a võrdub nulliga on t = 1.

Seejärel peame positsiooni funktsiooni ja kiiruse funktsiooni hindamisel väärtuses t = 1:

Rakendused

Lihtsustatud tuletamine

Järjestikuseid derivaate võib saada ka kaudse tuletamisega.

Näide

Arvestades järgmist ellipsi, leidke "ja":

Ootame kaudselt x-i suhtes:

Siis, tuletades x-i suhtes kaudselt uuesti, annab see meile:

Lõpuks on meil:

Suhtelised otsad

Teine kasutus, mida saame anda teise järjekorra derivaatidele, on funktsiooni suhteliste otste arvutamisel.

Kohalike äärmuste esimese derivaadi kriteerium ütleb meile, et kui meil on funktsioon f pidev vahemikus (a, b) ja eksisteerib c, mis kuulub sellele intervallile, siis et f 'tühistatakse c (st et c) on kriitiline punkt), võib esineda üks neist kolmest juhtumist:

- Kui f '(x)> 0 mistahes x-le, mis kuulub (a, c) ja f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Kui f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 (x, b), siis f (c) on kohalik miinimum.

- Kui f '(x) on sama tähis (a, c) ja (c, b), tähendab see, et f (c) ei ole kohalik lõpp-punkt.

Teise tuletise kriteeriumi kasutamisel võime teada, kas funktsiooni kriitiline arv on maksimaalne või kohalik miinimum, ilma et oleks vaja näha, milline on funktsiooni märk eespool nimetatud ajavahemike järel.

Teise tuletamise kriteerium ütleb meile, et kui f '(c) = 0 ja et f ((x) on pidev (a, b), siis juhtub, et kui f "(c)> 0, siis f (c) on kohalik miinimum ja kui f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Kui f "(c) = 0, ei saa me midagi sõlmida.

Näide

Arvestades funktsiooni f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², leida teise derivaadi kriteeriumi f väärtuste suhtelised maksimumid ja miinimumid.

Kõigepealt arvutame f '(x) ja f "(x) ning meil on:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nüüd, f '(x) = 0 kui ja ainult siis, kui 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ja see juhtub siis, kui x = 0, x = 1 või x = - 2.

Et kindlaks teha, kas saadud kriitilised arvud on suhtelised äärmused, piisab hindamisest f-s ja seega jälgitakse selle märki.

f "(0) = - 8, nii et f (0) on kohalik maksimum.

f "(1) = 12, nii et f (1) on kohalik miinimum.

f "(- 2) = 24, nii et f (- 2) on kohalik miinimum.

Taylori seeria

Olgu f funktsioon, mis on defineeritud järgmiselt:

Sellel funktsioonil on lähenemise raadius R> 0 ja sellel on kõigi (-R, R) -ga seotud tellimuste derivaadid. F järjestikused derivaadid annavad meile:

Võttes x = 0, saame c väärtused_n põhinevad selle derivaatidel järgmiselt: \ t

Kui võtame funktsiooni f (st f ^ 0 = f) n = 0, siis saame funktsiooni ümber kirjutada järgmiselt:

Nüüd kaaluge funktsiooni rida volitusi x = a:

Kui teeme eelmise analoogse analüüsi, peame funktsiooni f kirjutama järgmiselt:

Need seeriad on tuntud kui Taylori seeria a-s. Kui a = 0, on meil konkreetne juhtum, mida nimetatakse Maclaurin-seeriateks. Seda tüüpi seeriad on eriti matemaatilises tähenduses eriti arvulises analüüsis, sest tänu neile saame määratleda funktsioone arvutites, näiteks^x , sin (x) ja cos (x).

Näide

Hangi Maclaurin seeria e^x.

Pange tähele, et kui f (x) = e^x, seejärel f⁽ⁿ⁾(x) = e^x ja f⁽ⁿ⁾(0) = 1, mistõttu on tema Maclaurin-seeria:

Viited

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5-kordne arvutus. Mc Grawi mägi.
2. Leithold, L. (1992). ARVUTAMINE Analüütilise geomeetriaga. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Arvutamine. Mehhiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferentsiaalarvutus. Hüpotenus.
5. Saenz, J. (s.f.). Põhjalik arvutus. Hüpotenus.