Algebralised derivaadid (näidetega)



The algebralised derivaadid need koosnevad derivaadi uurimisest algebraliste funktsioonide konkreetsel juhul. Tuletisinstrumendi mõiste pärineb Vana-Kreekast. Selle mõiste arengut ajendas vajadus lahendada kaks olulist probleemi: üks füüsikas ja teine ​​matemaatikas.

Füüsikas lahendab derivaat liikuva objekti hetkekiiruse määramise probleemi. Matemaatikas on tangentjoon antud kõverale antud punktis.

Kuigi tuletisinstrumendi ja selle üldistuste abil lahendatakse tõesti palju rohkem probleeme, on tulemused, mis tulid pärast selle kontseptsiooni kasutuselevõttu.

Diferentsiaalarvutuse pioneerid on Newton ja Leibniz. Enne ametliku määratluse andmist arendame me ideed matemaatilisest ja füüsilisest vaatenurgast.

Indeks

  • 1 Tuletist kui puutujajoont kõverale
  • 2 Tuletis kui liikuva objekti hetkekiirus
    • 2.1 Algebraline funktsioon
  • 3 Tuletamisreeglid
    • 3.1 Saadud konstantsest
    • 3.2 Võimu tuletamine
    • 3.3 Tulenenud lisamisest ja lahutamisest
    • 3.4 Toote derivaat
    • 3.5 Tuletatud osakaalust
    • 3.6 Keti reegel
  • 4 Viited

Tuletist kui puutujajoone kõvera kõverat

Oletame, et funktsiooni y = f (x) graafik on pidev graafik (ilma piikide või tippudeta või eraldusteta) ja laske A = (a, f (a)) selle fikseeritud punkt. Me tahame leida puutujajoone võrrandi funktsiooni f graafikule punktis A.

Võta ükskõik milline muu graafi punkt P = (x, f (x)) punkti A lähedale ja tõmmake läbi A- ja P.-ga läbiv eraldusjoon. Sekantjoon on joon, mis lõikab ühe kõvera graafiku ühes või rohkem punkte.

Soovitava tangentliini saamiseks peame laskma ainult nõlva, sest meil on juba reas punkt: punkt A.

Kui liigutame punkti P mööda graafikut ja viime selle lähemale ja lähemale punktile A, läheneb ülalmainitud sekantjoon puutujale, mida me tahame leida. Kui "P kipub A-le", piiravad mõlemad jooned, seega ka nende nõlvad.

Sekantliini kalle annab

Öeldes, et P-lähenemised A on samaväärsed öeldes, et "x" läheneb "a" -le. Seega on punkti A graafi f puutujajoone kalle võrdne:

Ülaltoodud väljendit tähistab f '(a) ja see on defineeritud kui funktsiooni f derivaat punktis "a". Me näeme siis, et analüütiliselt on punkti funktsiooni derivaat piir, kuid geomeetriliselt on see punkti funktsiooni graafiku puutuja joont..

Nüüd näeme seda mõistet füüsika vaatenurgast. Me jõuame eelmise limiidi samale väljendusele, ehkki teisiti, saades määratluse ühehäälsuse.

Tuletis kui liikuva objekti hetkekiirus

Vaatame lühikest näidet selle kohta, mida kiirus tähendab. Näiteks öeldes, et sihtpunkti jõudnud auto tegi seda kiirusega 100 km tunnis, mis tähendab, et ühe tunni jooksul sõitis see 100 km.

See ei tähenda tingimata, et kogu tunni jooksul oli auto alati 100 km kaugusel, auto kiirusmõõtur võib mõnel hetkel tähendada vähem või rohkem. Kui tal oleks vaja peatuda liiklusvalguses, oli kiirus sel hetkel 0 km. Kuid ühe tunni pärast oli liin 100 km.

Seda nimetatakse keskmiseks kiiruseks ja seda annab möödunud aja vahel läbitud vahemaa, nagu me just nägime. Samas on hetkekiirus see, mis tähistab auto kiirusmõõturi nõela kindlaksmääratud hetkega (ajaga).

Vaatame seda üldisemalt. Oletame, et objekt liigub mööda joont ja et seda nihet kujutab võrrand s = f (t), kus muutuja t mõõdab aega ja muutuja s nihkumist, võttes arvesse selle algust hetk t = 0, millal see on samuti null, st f (0) = 0.

See funktsioon f (t) on tuntud positsioonifunktsioonina.

Taotletakse ekspressiooni objekti hetkkiirusele fikseeritud hetkel "a". Sellel kiirusel tähistame seda V (a) -ga.

Olgu hetkeks "a" lähedane hetk. Ajavahemikus "a" ja "t" on objekti asukoha muutus f (t) -f (a).

Keskmine kiirus selles ajavahemikus on:

Mis on ligikaudne kiirus V (a). See lähendamine on parem, kui t läheb lähemale "a". Seetõttu,

Pange tähele, et see ekspressioon on võrdne eelmisel juhul saadud, kuid teisest vaatenurgast. Seda nimetatakse funktsiooni f derivaadiks punktis "a" ja seda tähistatakse kui f '(a), nagu ülalpool märgitud.

Pange tähele, et muudatuse h = x-a tegemisel on meil see, et kui "x" kaldub "a", "h" kaldub 0-le ja eelmine limiit teisendatakse (samaväärselt):

Mõlemad väljendid on samaväärsed, kuid mõnikord on parem kasutada ühte teise asemel, sõltuvalt juhtumist.

Seejärel määratletakse funktsiooni f derivaat üldisemalt mis tahes punktis "x", mis kuulub selle domeeni

Kõige tavalisem märge funktsiooni y = f (x) derivaadi esindamiseks on see, mida me just nägime (f 'o ja'). Veel üks laialdaselt kasutatav märge on Leibnizi märge, mis on esitatud kui üks järgmistest väljenditest:

Võttes arvesse asjaolu, et tuletisinstrument on sisuliselt piir, võib see olla või mitte, sest piirid ei ole alati olemas. Kui see on olemas, siis öeldakse, et kõnealune funktsioon on antud punktis diferentseeruv.

Algebraline funktsioon

Algebraline funktsioon on polünoomide kombinatsioon summade, lahutamiste, toodete, jagude, volituste ja radikaalide abil.

Polünoom on vormi väljendus

Pn= anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+... + a2x2+ a1x + a0

Kus n on loomulik arv ja kõik ai, kus i = 0,1, ..., n, on ratsionaalsed numbrid ja an≠ 0 Sel juhul öeldakse, et selle polünoomi aste on n.

Järgnevad on algebraliste funktsioonide näited:

Siia ei kuulu eksponentsiaalsed, logaritmilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Järgmised reeglid, mida me allpool näeme, kehtivad üldiselt funktsioonide puhul, kuid piirame ennast ja rakendame neid algebraliste funktsioonide puhul..

Ümbersõidu eeskirjad

Tuletatud konstantsest

See kinnitab, et konstanti tuletis on null. See tähendab, et kui f (x) = c, siis f '(x) = 0. Näiteks on konstantse funktsiooni 2 derivaat võrdne 0-ga.

Tuletatud võimust

Kui f (x) = xn, siis f '(x) = nxn-1. Näiteks x-i derivaat3 See on 3x2. Selle tulemusena saame, et identiteedifunktsiooni f (x) = x derivaat on f '(x) = 1x1-1= x0= 1.

Teine näide on järgmine: olla f (x) = 1 / x2, siis f (x) = x-2 ja f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

See omadus on ka kehtiv juured, sest juured on ratsionaalsed ja teil on võimalik ülaltoodud juhtumeid rakendada ka sel juhul. Näiteks annab ruutjuure derivaadi

Tuletatud summast ja lahutamisest

Kui f ja g on diferentseeruvad funktsioonid x-s, siis summa f + g on samuti erinev ja et (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analoogselt on meil (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Teisisõnu on summa (lahutamine) tuletisinstrument tuletisinstrumentide summa (või lahutamine).

Näide

Kui h (x) = x2+x-1

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Saadud toode

Kui f ja g on diferentseeruvad funktsioonid x-s, siis on toode fg diferentseeruv ka x-s ja see on täidetud

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Selle tulemusena on meil, et kui c on konstant ja f on diferentseeruv funktsioon x, siis cf on samuti diferentseeruv x ja (cf) '(x) = cf' (X).

Näide

Kui f (x) = 3x (x2+1)

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Tuletatud osast

Kui f ja g on diferentseeruvad x ja g (x) ≠ 0, siis f / g on samuti diferentseeruv x-s ja on tõsi, et

Näide: kui h (x) = x3/ (x2-5x)

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

Keti reegel

See reegel võimaldab funktsioonide koostist tuletada. See kehtestab: kui y = f (u) on diferentseeruv u, yu = g (x) on diferentseeruv x-s, siis ühendfunktsioon f (g (x)) on diferentseeruv x-s ja on veendunud, et [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

See tähendab, et komposiitfunktsiooni derivaat on sisemise funktsiooni derivaadi (sisemine derivaat) välise funktsiooni derivaadi (väline derivaat) tulemus..

Näide

Kui f (x) = (x4-2x)3, siis

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

Samuti on tulemuseks funktsiooni pöördtehingu tuletise arvutamine, samuti kõrgema järjekorra derivaatide üldistamine. Rakendused on ulatuslikud. Nende hulgas tõstavad nad esile oma kommunaalteenused optimeerimise ning maksimaalsete ja minimaalsete funktsioonide osas.

Viited

  1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferentsiaalarvutus. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). Arvutamine 4000. Toimetaja Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). Matemaatika enne arvutamist. Medellini ülikool.
  4. Eduardo, N. A. (2003). Arvestuse tutvustus. Läviväärtused.
  5. Allikad, A. (2016). MATEMATIKA ALUS. Arvestuse sissejuhatus. Lulu.com.
  6. Purcell, E. J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E.. Arvutamine. Pearson Education.
  7. Saenz, J. (2005). Diferentsiaalarvutus (Teine väljaanne). Barquisimeto: hüpotenus.
  8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Arvutamine: mitu muutujat. Pearson Education.