Lähenduste arvutamine diferentsiaaliga



Matemaatika ühtlustamine on number, mis ei ole midagi täpset väärtust, kuid on nii lähedal, et seda peetakse kasulikuks selle täpsena.

Kui matemaatikas tehakse ligikaudseid hinnanguid, on see, et käsitsi on raske (või mõnikord võimatu) teada, milline on soovitud väärtus..

Peamiseks tööriistaks lähendustega töötamisel on funktsiooni erinevus.

Funktsiooni f erinevus, mida tähistab Δf (x), ei ole rohkem kui funktsiooni f derivaat, mis on korrutatud sõltumatu muutuja muutusega, st Δf (x) = f '(x) * Δx.

Mõnikord kasutatakse f ja Δx asemel df ja dx.

Lähenemisviisid diferentsiaaliga

Valem, mida rakendatakse diferentseerimise kaudu lähendamiseks, tuleneb täpselt funktsiooni kui piirmäära tuletise määratlusest.

Seda valemit annab:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Siin on arusaadav, et Δx = x-x0, seega x = x0 + Ax. Seda kasutades saab valemit ümber kirjutada

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Tuleb märkida, et "x0" ei ole suvaline väärtus, vaid on selline väärtus, et f (x0) on kergesti teada; Lisaks on "f (x)" just see väärtus, mida me soovime lähendada.

Kas on paremaid lähendusi?

Vastus on jah. Eelmine on lihtsaim ligikaudsete lähenduste kohta, mida nimetatakse "lineaarseks ühtlustamiseks".

Parema kvaliteedi tagamiseks (viga on väiksem) kasutatakse polünoome, millel on rohkem derivaate nimetusega "Taylor polynomials", samuti teisi arvulisi meetodeid, nagu näiteks Newton-Raphson'i meetod..

Strateegia

Järgnev strateegia on:

- Valige sobiv funktsioon f, et teostada lähendamist, ja väärtus "x", nii et f (x) on väärtus, mida soovid lähendada.

- Valige väärtus "x0", "x" lähedal, nii et f (x0) on lihtne arvutada.

- Arvutage Δx = x-x0.

- Arvutage funktsiooni derivaat ja f '(x0).

- Asendage andmed valemiga.

Lahendatud lähenemise harjutused

Mis jätkub, on mitmeid harjutusi, kus lähendusi tehakse diferentsiaaliga.

Esimene harjutus

Umbes √3.

Lahendus

Strateegia järgimisel tuleb valida sobiv funktsioon. Sel juhul võib näha, et valitav funktsioon peab olema f (x) = √x ja ligikaudne väärtus f (3) = √3.

Nüüd peame valima väärtuse "x0" "3" lähedal, nii et f (x0) on lihtne arvutada. Kui valite "x0 = 2", on teil "x0" lähedal "3", kuid f (x0) = f (2) = √2 ei ole lihtne arvutada.

"X0" väärtus, mis on mugav, on "4", sest "4" on lähedal "3" ja ka f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Kui "x = 3" ja "x0 = 4", siis Δx = 3-4 = -1. Nüüd me jätkame f tuletise arvutamist. See tähendab, et f '(x) = 1/2 * √x, nii et f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Kõikide valemite väärtuste asendamine:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Kalkulaatori kasutamisel saadakse, et that3≈1.73205 ... See näitab, et eelmine tulemus on tegeliku väärtuse hea ligikaudne väärtus.

Teine harjutus

Umbes √10.

Lahendus

Nagu varem, valitakse see funktsiooniks f (x) = √x ja sel juhul x = 10.

X0 väärtus, mis tuleb sellel võimalusel valida, on "x0 = 9". Seejärel on meil Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ja f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Valemi hindamisel saad seda

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3 666 ...

Kalkulaatori abil saad selle √10 ≈ 3.1622776 ... Siin näete ka seda, et enne on saavutatud hea ligikaudsus.

Kolmas harjutus

Ligikaudne Ø 10, kus √√ tähistab kuupmeetri juurt.

Lahendus

Selge on see harjutuseks kasutatav funktsioon f (x) = ³√x ja "x" väärtus peab olema "10".

"10" lähedane väärtus, nii et selle kuubikujuur on teada, on "x0 = 8". Siis on meil Δx = 10-8 = 2 ja f (x0) = f (8) = 2. Meil ​​on ka see, et f '(x) = 1/3 * ³√x² ja seega f' (8) = 1/3 * 3√8² = 1/3 * 3√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Andmete valemiga asendamisel saadakse:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Kalkulaator ütleb, et √√10 ≈ 2.15443469 ... Seega on leitud ühtlustamine hea.

Neljas harjutus

Ligikaudu ln (1,3), kus "ln" tähistab looduslikku logaritmi funktsiooni.

Lahendus

Esiteks valitakse funktsioon f (x) = ln (x) ja "x" väärtus on 1,3. Nüüd, teades natuke logaritmifunktsioonist, võime teada, et ln (1) = 0 ja ka "1" on lähedal "1,3" -le. Seetõttu valitakse "x0 = 1" ja seega Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Teisest küljest f '(x) = 1 / x, nii et f' (1) = 1. Antud valemis hinnates peate:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Kui kasutate kalkulaatorit, peate ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Seega on tehtud ühtlustamine hea.

Viited

  1. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Matemaatika. Prentice Hall PTR.
  2. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Precalculus matemaatika: probleemide lahendamise lähenemisviis (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
  3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage'i õppimine.
  5. Leal, J. M., ja Viloria, N. G. (2005). Lame analüütiline geomeetria. Mérida - Venezuela: toimetamine Venezolana C. A.
  6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Arvutamine (Üheksas väljaanne). Prentice'i saal.
  8. Saenz, J. (2005). Diferentsiaalarvutus varase transsendentaalse funktsiooniga teadusele ja insenerile (Second Edition ed.). Hüpotenus.
  9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, osa: Analüütilised koonikud (1907) (kordustrükk ed.). Valgusallikas.
  10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.