Mis on vektor ja millised on selle omadused?

A vektor see on kogus või nähtus, millel on kaks sõltumatut omadust: suurus ja suund. Mõiste tähistab ka sellise summa matemaatilist või geomeetrilist kujutist.

Looduslike vektorite näited on kiirus, jõud, elektromagnetväljad ja kaal. Summa või nähtust, mis näitab ainult suurust, ilma konkreetse suunata, nimetatakse skalaariks.

Skalaaride näideteks on kiirus, mass, elektriline takistus ja kõvaketta salvestusmaht.

Vektoreid saab graafiliselt esitada kahes või kolmes mõõtmes. Suurust näidatakse segmendi pikkusena. Suunda näitab segmenti orientatsioon ja nool ühest otsast.

Ülaltoodud joonisel on näidatud kolm vektorit kahemõõtmelistes ristkülikukujulistes koordinaatides (Cartesiuse tasand) ja nende ekvivalendid polaarkoordinaatides.

Füüsika vektorid

Füüsikas, kui teil on vektor, peate arvestama kahte kogust: selle suunda ja suurust. Koguseid, millel on ainult üks suurus, nimetatakse skalaarideks. Kui skalaarkogusele antakse suund, luuakse vektor.

Visuaalselt näete nooli abil vektoreid, mis on täiuslik, sest noolel on selge suund ja selge suurus (noole pikkus).

Järgmises joonisel kujutab nool vektorit, mis algab noolest (mida nimetatakse ka sabaks) ja lõpeb peaga.

Füüsikas kasutatakse tavaliselt vektori kujutamiseks julgeid kirju, kuigi seda võib ka kujutada noolega tähena..

Nool tähendab, et see ei ole ainult skalaariväärtus, mida esindaks A, vaid ka midagi suunda.

Erinevused vektori ja skalaari vahel

Väärtused, mis ei ole vektorid, on skalaarsed. Näiteks selline 500 õuna kogus on skalaar, sellel pole aadressi, see on ainult suurusjärgus. Aeg on ka skalaar, sellel pole mingit suunda.

Kuid kiirus on vektor, kuna see ei määra ainult marsruudi suurust (kiirust), vaid näitab ka marsruudi suunda (ja suunda)..

Näiteks võib kiirusvektori toimimisviis olla

olema 30 ° horisontaaltasapinnast. Seetõttu teame, millises suunas objekt liigub.

Sellegipoolest ei täpsusta see veel reisi suunda, kas ta liigub eemale või läheb meile lähemale. Seetõttu täpsustame ka suunda, milles vektor liigub noolepea kaudu.

Jõud, kiirendus ja läbitud vahemaa on samuti vektorid. Näiteks öeldes, et 10 meetri võrra liigutatud auto ei näita, millises suunas ta liikus. Liikumise täpseks määratlemiseks on vaja täpsustada liikumise suunda ja suunda.

Tugevus on samuti vektor, sest kui tõmmate objekti enda poole, siis läheb see sinu lähedale ja kui lükate objekti eemale. Seega on jõul suund ja mõte ning seetõttu on see vektor.

Näide

Näidetena, mida vektor pakub, on meil järgmised andmed:

Otsige kullakott

Oletame, et õpetaja ütleb teile: "Kott on kullas väljaspool klassiruumi, et seda leida, liigu 20 meetrit." See avaldus huvitab teid kindlasti, kuid deklaratsioonis ei ole piisavalt teavet kuldse koti leidmiseks.

Kullakoti leidmiseks vajalikku nihet ei ole täielikult kirjeldatud. Teisest küljest oletame, et teie õpetaja ütleb sulle: "Klassikast väljaspool asub kott, et leida, et see liigub klassi ukse keskelt 20 meetrit 30 ° suunas põhja pool".

See avaldus annab nüüd täieliku kirjelduse nihutusvektori kohta, mis loetleb suuruse (20 meetrit) ja suunda (30 ° läänepikkust põhja poole) võrdlus- või lähtepositsiooni suhtes (klassi ukse keskpunkt). ).

Vektori koguseid ei kirjeldata täielikult, välja arvatud juhul, kui näidatud on nii suurus kui ka suund.

Auto nihutamine

Autos liikudes kasutame erinevaid vektoreid. Need vektorid ilmuvad iga kord, kui muudame kiirust.

Kui me kiirendame teise auto ületamiseks, lisame suunda ja kiiruse muutujaid, mis moodustavad uue vektori.

Teisest küljest, kui tahame kiirust vähendada, lahutame need aeglustusele vastavad vektorid.

Teises mõttes, kui me pöörleme kiirust muutmata, muudame auto liikumisest tuleneva vektori mõtet..

Avage uks

Ukse avamisel kasutame mitmeid vektoreid. Esiteks peame ukse nupu pööramiseks teatud suunas trükkima jõu, siis peame ukse teatavas suunas suruma, jõudu trükkides.

Need jõu- ja suuna väärtused vastavad vektoritele, mida kasutatakse ukse avamiseks. Uste sulgemise protsess loob uue vektori, mille väärtus on negatiivne võrreldes sellega, mis algselt avati.

Liigutage kasti

Kui me tahame väga rasket kasti lükata, peame oma külgpinnale avaldama jõudu. See jõud tuleb avaldada ühes suunas, et karp saaks liikuda.

Sellisel juhul tuleneb vektor kasti liigutamiseks rakendatud jõu ja suuna kombinatsioonist.

Kui jõudu ei kasutata kasti surumiseks, vaid vertikaalselt tõstmiseks, ilmub uus vektor.

See vektor koosneb vertikaalteljest, millel kasti tõstetakse, ja jõudu, mida kasutatakse selle tõstmiseks.

Liiguta malet

Nagu eelmise näite puhul, saab laudakettale teisaldada malepiibi - kindlas suunas ja konkreetse jõu rakendamisega -, et muuta oma positsiooni laual, genereerides vektori.

Seda saab ka laualt eemaldada, luues vertikaalselt uue vektori.

Vajutage nuppu

A botót vajutatakse ainult ühes suunas, mida annab sama süsteem, mis sisaldab nuppu.

Selle nupu vajutamiseks tuleb sõrmega rakendada jõudu. Selle liikumise teostamisest tuleneb vektor.

Mängi piljardit

Piljardilaua puidust kii löömisega kaasneb kohe vektor, sest selle mõju on kaks suurust: tugevus ja suund.

Piljardipallile rakendatakse jõudu, et seda teatud suunas liigutada. Laua piljardilaual on eelnevalt loodud mõte, mis sõltub mängija otsusest.

Mänguauto tõmbamine

Kui laps võtab oma mänguasjaauto ja tõmbab selle trossile või lihtsalt käedega manipuleerib, tekitab ta palju vektoreid.

Iga kord, kui laps muudab sõiduki kiirust või suunda, loob see uue vektori.

Vektori muutujad, antud juhul, koosneksid energiast, mida laps rakendab autole, ja sellest, millises suunas ta soovib seda liigutada..

Vektorite esindamine

Vektorikoguseid esindavad sageli skaleeritud vektordiagrammid.

Vektori diagrammid kujutavad vektorit, kasutades noole, mis on joonistatud skaalal teatud suunas. Asjakohase vektori diagrammil peaks olema mitu omadust:

• Skaala on selgelt loetletud.
• Vektori nool tõmmatakse (noolepeaga) kindlas suunas. Vektori noolel on pea ja saba.
• Vektori suurus ja suund on selgelt märgistatud.

Vektori aadress

Vektorid võivad olla suunatud ida, lääne, lõuna ja põhja poole. Kuid mõned vektorid suunatakse kirdesse (45 ° nurga all). Seetõttu on selge vajadus kindlaks määrata vektori suund, mis ei sõltu põhjast, lõunast, idast või läänest.

Mis tahes vektori suuna kirjeldamiseks on mitmeid konventsioone, kuid allpool selgitatakse ainult kahte neist.

1-vektori suunda väljendatakse sageli vektori pöördenurga ümber tema "saba" ida, lääne, põhja või lõuna suunas.

Näiteks võib öelda, et vektori aadress on 40 ° läänest põhja pool (see tähendab, et lääne poole suunatud vektor on muutunud 40 ° põhja suunas) või et selle suund on 65 °. lõunasse (mis tähendab, et lõunasse suunav vektor on pööranud 65 ° itta).

2 - Vektori suunda väljendatakse sageli pöördenurga vektori vastupäeva. Kasutades seda konventsiooni, on 30 ° suunaga vektor vektor, mis on pööratud 30 ° vastupäeva suunas ida poole.

160 ° suunaga vektor on vektor, mis on pööratud idasuunas 160 ° vastupäeva. 270 ° suunaga vektor on vektor, mis on pööratud 270 ° idasuunas vastassuunas.

Vektori suurus

Skaala vektori skeemil oleva vektori suurust esindab noole pikkus. Nool on tõmmatud täpse pikkusega vastavalt valitud skaalale.

Näiteks, kui soovite joonistada vektori, mille suurus on 20 meetrit, võite valida skaalana 1 cm = 5 meetrit ja joonistada noole pikkusega 4 cm.

Sama skaalaga (1 cm = 5 meetrit) on 15 meetri pikkune nihke vektor esindatud 3 cm pikkuse vektori noolega.

Samamoodi esindab 25 meetri pikkust nihke vektorit 5 cm pikkune nool. Ja lõpuks, 18 meetri pikkust nihutusvektorit esindab 3,6 cm pikkune nool.

Vektorite muud omadused

Võrdsus: öeldakse, et kaks vektorit on võrdsed, kui neil on sama suurus ja suund. Samamoodi on need võrdsed, kui nende koordinaadid on võrdsed.

Vastulause: kaks vektorit on vastupidised, kui neil on sama suurus, kuid vastupidine.

Parallelid: kaks vektorit on paralleelsed, kui neil on samasugune suund, kuid ei pruugi olla sama suur, või paralleelne, kui neil on vastupidine suund, kuid mitte tingimata sama suurus;.

Vektoriüksus: ühikvektor on iga vektor, mille pikkus on üks.

Vektor null: nullvektor on nullpikkusega vektor. Erinevalt teistest vektoritest on sellel suvaline või määramatu suund ja seda ei saa normaliseerida

Viited

1. Jong IC, Rogers BG. Insenerimehaanika: staatika (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Matemaatika entsüklopeediline sõnaraamat (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Matemaatika entsüklopeedia (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Sissejuhatus lineaarsesse algebrisse (1986). Springer.
6. Niku S. inseneri põhimõtted mitte-inseneride igapäevaelus (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geomeetria: terviklik kursus (1988). Dover.