Tehnilised loendusmeetodid, rakendused ja näited

The loendusmeetodid on tõenäosusmeetodite rida, et arvutada komplekti või mitme objektide komplekti võimalikku arvu. Neid kasutatakse kontode käsitsi muutmisel keeruliseks objektide ja / või muutujate suure arvu tõttu.

Näiteks selle probleemi lahendus on väga lihtne: kujutage ette, et teie ülemus palub teil lugeda viimased tooted, mis on saabunud viimase tunni jooksul. Sellisel juhul võid minna ja lugeda tooteid ükshaaval.

Kuid kujutage ette, et probleem on see: teie ülemus palub teil lugeda, mitu 5-liikmelist sama grupi toodet saab koos viimaste tundidega saabunud rühmadega. Sellisel juhul muutub arvutus keeruliseks. Seda tüüpi olukordades kasutatakse nn loendamismeetodeid.  

Need meetodid on mitmed, kuid kõige olulisemad on jagatud kaheks põhiprintsiibiks, milleks on multiplikatiiv ja lisaaine; permutatsioonid ja kombinatsioonid.

Indeks

• 1 mitmekordne põhimõte
  • 1.1 Rakendused
  • 1.2 Näide
• 2 Söödalisandi põhimõte 
  • 2.1 Rakendused
  • 2.2 Näide
• 3 Permutatsiooni
  • 3.1 Rakendused
  • 3.2 Näide
• 4 Kombinatsioonid
  • 4.1 Rakendused
  • 4.2 Näide
• 5 Viited 

Mitmekordne põhimõte

Rakendused

Mitmekordne põhimõte koos lisandiga on loendustehnikate toimimise mõistmiseks põhiline. Kordistava puhul koosneb see järgmisest:

Kujutage ette tegevust, mis hõlmab teatud arvu etappe (summa on tähistatud kui "r"), kus esimeseks sammuks võib olla N1 vormid, N2 teine ​​etapp ja Nr vormide samm "r". Sellisel juhul saab tegevust teostada selle operatsiooni tulemusena saadud vormide arvust: N1 x N2 x ... .x Nr vormid

Sellepärast nimetatakse seda põhimõtet mitmekordistavaks ja see tähendab, et iga samm, mis on vajalik tegevuse teostamiseks, tuleb teha üksteise järel. 

Näide

Kujutlege inimest, kes tahab kooli ehitada. Selleks peate arvestama, et hoone alust saab ehitada kahel erineval viisil: tsemendiks või betooniks. Seinad võivad olla valmistatud Adobe, tsement või tellistest.

Katuse puhul võib see olla valmistatud tsemendist või tsingitud lehest. Lõpuks saab lõppmaali teha ainult ühel viisil. Tekkinud küsimus on järgmine: Kui palju võimalusi kool peab ehitama??

Esiteks arvestame sammude arvuga, milleks oleks alus, seinad, katus ja maal. Kokku 4 astet, seega r = 4.

Järgnevalt loetaks N:

N1 = aluse ehitamise viisid = 2

N2 = seinte ehitamise viisid = 3

N3 = katuse tegemise viisid = 2

N4 = värvide tegemise viisid = 1

Seetõttu arvutatakse võimalike vormide arv eespool kirjeldatud valemiga:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 kooli lõpetamise viisi.

Söödalisandi põhimõte

Rakendused

See põhimõte on väga lihtne ja see, et olemasolevate mitme alternatiivi puhul sama tegevuse teostamiseks koosnevad võimalikud võimalused kõigi alternatiivide tegemiseks..

Teisisõnu, kui me tahame teostada kolme alternatiivi, kus esimest alternatiivi saab teha M-vormis, teine ​​N-vormis ja viimane W-vormis, võib aktiivsuse teha järgmistest vormidest: M + N + ... + W-vormid.

Näide

Kujutlege seekord isikut, kes soovib osta tennisereket. Selleks on sellel kolm kaubamärki: Wilson, Babolat või Head.

Kui ta kauplusesse läheb, näeb ta, et Wilsoni reket on võimalik osta kahe erineva suurusega käepidemega, L2 või L3 nelja erineva mudeliga ja seda saab pingutada või ilma pingutuseta.

Babolat reketil on aga kolm käepidet (L1, L2 ja L3), on kaks erinevat mudelit ning seda saab ka pingutada või ilma pingutuseta.

Head võidusõidupakett on aga ainult ühe käepidemega, L2, kahes erinevas mudelis ja ainult ilma pingutuseta. Küsimus on selles, kui palju võimalusi see inimene peab ostma??

M = Wilsoni reketide valimise viiside arv

N = Babolat-reketi valimise viiside arv

W = peariba valimise viiside arv

Teeme kordaja põhimõtte:

M = 2 x 4 x 2 = 16 vormi

N = 3 x 2 x 2 = 12 vormi

W = 1 x 2 x 1 = 2 vormi

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 viisi, kuidas valida reket.

Et teada saada, millal kasutada korrutuspõhimõtet ja söödalisandit, peate lihtsalt uurima, kas tegevusel on mitmeid toiminguid ja kui on olemas mitu alternatiivi, siis lisand.

Permutaatorid

Rakendused

Et mõista, milline on permutatsioon, on oluline selgitada, milline kombinatsioon on, et neid eristada ja teada saada, millal neid kasutada.

Kombinatsioon oleks elementide paigutus, milles me ei ole huvitatud positsioonist, mida igaüks neist kasutab.

Teisest küljest oleks permutatsioon elementide paigutus, milles oleme huvitatud positsioonist, mida igaüks neist kasutab.

Anname näite, kuidas erinevust paremini mõista.

Näide

Kujutage ette 35 klassi õpilast ja järgmisi olukordi:

1. Õpetaja soovib, et kolm tema õpilast aitaksid tal klassi puhtana hoida või materjale teistele õpilastele pakkuda, kui ta seda vajab.
2. Õpetaja soovib määrata klassi delegaadid (president, assistent ja rahastaja).

Lahendus oleks järgmine:

1. Kujutage ette, et hääletades valitakse Juan, María ja Lucía klasside puhastamiseks või materjalide tarnimiseks. Ilmselgelt võis 35 võimaliku õpilase hulgas moodustada teisi kolme inimese rühmi.

Me peame endalt küsima järgmist: kas on oluline, et iga õpilane valiks nende valimise ajal??

Kui me selle üle mõtleme, näeme, et see ei ole tegelikult oluline, sest rühm hoolitseb mõlema ülesande eest võrdselt. Sellisel juhul on tegemist kombinatsiooniga, sest me ei huvita elementide positsioonist.

2. Nüüd kujutage ette, et Johannes valitakse presidendiks, Maria assistendiks ja Lucia rahaliseks.

Kas sellisel juhul oleks see küsimus oluline? Vastus on jah, sest kui muudame elemente, muutub tulemus. See tähendab, et kui panime Juani presidendiks, paneme teda assistendiks ja Maria kui president, lõpptulemus muutub. Sel juhul on tegemist permutatsiooniga.

Kui erinevus on arusaadav, saame permutatsioonide ja kombinatsioonide valemid. Kõigepealt peame määratlema mõiste "n!" (In faktoriumi), kuna seda kasutatakse erinevates valemites.

n! = tootele 1 kuni n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Kasutades seda reaalarvudega:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutatsioonide valem on järgmine:

nPr = n! / (n-r)!

Sellega saame välja selgitada korralduse, kus järjekord on oluline ja kus n elemendid on erinevad.

Kombinatsioonid

Rakendused

Nagu me varem märkisime, on kombinatsioonid kord, kus me ei hooli elementide positsioonist.

Selle valem on järgmine:

nCr = n! / (n-r)! r!

Näide

Kui on 14 õpilast, kes soovivad klassiruumi puhastada, siis kui palju puhastusrühmi saab moodustada 5 inimest??

Seega oleks lahendus järgmine:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 rühmad

Viited

1. Jeffrey, R.C., Tõenäosus ja kohtuotsuse kunst, Cambridge'i ülikooli press. (1992).
2. William Feller, "Tõenäosusteooria ja selle rakenduste tutvustus", (Vol 1), 3th Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loogilised alused ja subjektiivse tõenäosuse mõõtmine". Psühholoogiline seadus.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Matemaatilise statistika tutvustus (6. trükk). Ülem-sadul: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Uuringu teadus: tõendid ja tõenäosus enne Pascalit,Johns Hopkins University Press.