Milliseid integraale on olemas?

The integraalide tüübid arvutusest leitakse: määramata integraalid ja defineeritud integraalid. Kuigi kindlatel integraalidel on palju rohkem rakendusi kui määramata integraalid, on vaja kõigepealt õppida määramata integraalide lahendamiseks.

Kindlaste integraalide üks atraktiivsemaid rakendusi on revolutsiooni kindla mahu arvutamine.

Mõlemat tüüpi integraalidel on samad lineaarsuse omadused ja ka integratsioonitehnikad ei sõltu integraali tüübist.

Kuid vaatamata sellele, et see on väga sarnane, on peamine erinevus; esimese integraali tüübi puhul on tulemus funktsioon (mis ei ole spetsiifiline), samas kui teises tüübis on tulemus number.

Kaks integraali põhitüüpi

Integraalide maailm on väga lai, kuid selle raames saame eristada kahte tüüpi integraale, mis on igapäevaelus väga rakendatavad.

1 - määramata integraalid

Kui F '(x) = f (x) kõigi x puhul f f domeenis, siis me ütleme, et F (x) on f (x) -i algantiv, primitiivne või integraal..

Teisest küljest vaadake, et (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), mis tähendab, et funktsiooni integraal ei ole ainulaadne, kuna annab erinevatele väärtustele konstantse C, saame teistsuguse väärtuse antiderivaadid.

Sel põhjusel nimetatakse F (x) + C f (x) määramiseks ja C nimetatakse integratsioonikonstantiks ja me kirjutame selle järgmisel viisil

Nagu näeme, on funktsiooni f (x) määramata integraal funktsioonide perekond.

Näiteks, kui soovite arvutada funktsiooni f (x) = 3x² määramata integraali, peate kõigepealt leidma f (x) antivigatiivi.

On lihtne märkida, et F (x) = x³ on antiderivatiiv, kuna F '(x) = 3x². Seetõttu võib järeldada, et

∫f (x) dx = x3x²dx = x³ + C.

2 - defineeritud integraalid

Olgu y = f (x) tegelik funktsioon, mis on pidev suletud intervallis [a, b] ja lase F (x) olla f (x) vastandlik. Seda nimetatakse f (x) kindla integraaliks piiride a ja b vahel arvuni F (b) -F (a) ja seda tähistatakse järgmiselt

Ülaltoodud valem on paremini tuntud kui "Kalkulatsiooni põhiline teoreem". Siin nimetatakse "a" alumist piiri ja "b" nimetatakse ülempiiriks. Nagu näete, on funktsiooni kindel integraal number.

Sel juhul, kui arvutatakse inter ([0,3]) f (x) = 3x² kindel integraal, saadakse number.

Selle numbri määramiseks valime f (x) = x³ kui f (x) = 3x². Seejärel arvutame F (3) -F (0), mis annab meile tulemuse 27-0 = 27. Kokkuvõttes on f (x) kindel integraal intervallis [0.3] 27.

On võimalik esile tõsta, et kui on valitud G (x) = x³ + 3, siis G (x) on f (x) muu kui F (x), kuid see ei mõjuta tulemust pärast G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Sel põhjusel ei ole määratletud integraalides integratsioonikonstant.

Üks kõige kasulikumaid rakendusi, mida sellist tüüpi integraal on, on see, et see võimaldab arvutada kindla pöörde kindla pinna (pindala), luua sobivad funktsioonid ja integreerimispiirid (ja pöörlemistelje).

Kindlaksmääratud integraalide sees leiame selle laiendusi, nagu näiteks liini integraalid, pinnaintegraalid, sobimatud integraalid, mitmed integraalid, muu hulgas kõik, millel on väga kasulikud rakendused teaduses ja inseneris.

Viited

1. Casteleiro, J. M. (2012). Kas on lihtne integreerida? Iseseisev õpetamine. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Põhjalik arvutus (Illustrated ed.). Madrid: ESIC toimetamine.
3. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Matemaatika. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Precalculus matemaatika: probleemide lahendamise lähenemisviis (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Integraalne arvutus. Atlandi kirjastajad ja levitajad.
6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Arvutamine (Üheksas väljaanne). Prentice'i saal.