Mis on kaldus kolmnurgad? (lahendatud harjutustega)



The kaldus kolmnurgad on need kolmnurgad, mis ei ole ristkülikud. See tähendab, et kolmnurgad sellised, et ükski selle nurk ei ole täisnurk (selle mõõtmine on 90º).

Kuna nurk ei ole õige, siis ei saa Pythagori teoreemi nendele kolmnurkadele rakendada.

Seetõttu on kaldnurga andmete tundmiseks vaja kasutada teisi valemeid.

Kaldnurga kolmnurga lahendamiseks vajalikud valemid on nn siinuste ja kosiinide seadused, mida kirjeldatakse hiljem.

Lisaks nendele seadustele võib alati kasutada asjaolu, et kolmnurga sisemise nurga summa on 180º..

Kaldus kolmnurgad

Nagu alguses öeldi, on kaldus kolmnurk kolmnurk, nii et ükski selle nurk ei ole 90º.

Kaldenurga kolmnurga külgede pikkuse leidmise probleemi ja selle nurkade mõõtmiste leidmist nimetatakse "kaldus kolmnurga lahutuseks"..

Kolmnurkadega töötamisel on oluline, et kolmnurga kolme sisemise nurga summa on 180º. See on üldine tulemus, mistõttu saab kaldus kolmnurkade puhul kasutada ka seda.

Rindade ja kosiinide seadused

Arvestades kolmnurga ABC pikkusega "a", "b" ja "c":

- Rindade seadus sätestab, et a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kus A, B ja C on vastassuunalised nurgad "a", "b" ja "c" suhtes vastavalt.

- Kosinuste seadus sätestab, et: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Samamoodi võib kasutada järgmisi valemeid:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) või a2 = b² + c² - 2bc * cos (A).

Nende valemite abil saate arvutada kaldnurga kolmnurga andmed.

Harjutused

Siin on mõned harjutused, kus peaksite leidma teatavad esitatud andmed kolmnurkade puuduvate andmete kohta.

Esimene harjutus

Arvestades kolmnurga ABC nii, et A = 45º, B = 60º ja a = 12cm, arvutage kolmnurga teised andmed.

Lahendus

Kasutades seda kolmnurga sisemiste nurkade summa on 180º, peate seda tegema

C = 180º -45º-60º = 75º.

Kolm nurka on juba teada. Siis jätkake rinnade seadust, et arvutada kaks puudu, mis puuduvad.

Esitatud võrrandid on 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Esimesest võrdsusest saate selgeks teha "b" ja saada see

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Saate ka "c" kustutada ja saada selle

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Teine harjutus

Arvestades kolmnurka ABC nii, et A = 60º, C = 75º ja b = 10cm, arvutage kolmnurga teised andmed.

Lahendus

Nagu eelmisel harjutusel, B = 180º -60º-75º = 45º. Peale selle on rinnade seaduse alusel vaja, et a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), millest a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 × 12,247 cm ja c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + 3) ≈ 13,660 cm.

Kolmas harjutus

Arvestades kolmnurka ABC nii, et a = 10cm, b = 15cm ja C = 80º, arvutage kolmnurga teised andmed.

Lahendus

Selles harjutuses on teada ainult üks nurk, seega ei saa te alustada nii, nagu te tegite kahel eelmisel harjutusel. Samuti ei saa rindade õigust kohaldada, sest ühtegi võrrandit ei saa lahendada.

Seetõttu jätkame kosinuste seaduse kohaldamist. See on siis see

c2o = 102 + 15² - 2 (10) (15) cos (80 °) = 325 - 300 * 0,173≈272,905 cm,

nii, et c ≈ 16,51 cm. Nüüd, teades kolme külge, kasutatakse rinnade seadust ja saad

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Sellest tuleneb B puhastamisel ilma (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, mis tähendab, et B ≈ 63,38º.

Nüüd on võimalik, et A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Neljas harjutus

Kaldus kolmnurga küljed on a = 5cm, b = 3cm ja c = 7cm. Arvutage kolmnurga nurgad.

Lahendus

Jällegi ei saa rindade õigust otseselt kohaldada, sest ükski võrrand ei võimaldaks nurkade väärtust saada.

Kasutades kosinuse õigust, on meil see, et c² = a² + b² - 2ab cos (C), kus kui me selgeks oleme, on see, et cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 ja seetõttu C = 120 °.

Nüüd, kui saab rakendada rinnade seadust ja saada 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), kus saab kustutada B ja saada seda ilma (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, nii et B = 21,79º.

Lõpuks arvutatakse viimane nurk, kasutades A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Viited

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geomeetria (Reprint ed.). Edu.
  2. Leake, D. (2006). Kolmnurgad (illustreeritud). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Geomeetria. CR tehnoloogia.
  5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonomeetria ja analüütiline geomeetria. Pearson Education.