Mis on trigonomeetrilised piirid? (lahendatud harjutustega)

The trigonomeetrilised piirid need on funktsioonide piirid, nii et need funktsioonid moodustuvad trigonomeetrilistest funktsioonidest.

On vaja teada kahte määratlust, et mõista, kuidas trigonomeetrilise piiri arvutamine toimub.

Need määratlused on:

- Funktsiooni "f" piir "x" kaldub "b" -ni: see koosneb väärtuse arvutamisest, millele f (x) läheneb kui "x" lähenemisi "b", saavutamata "b".

- Trigonomeetrilised funktsioonid: trigonomeetrilised funktsioonid on sinuse, kosiini ja puutuja funktsioonid, mida tähistavad vastavalt sin (x), cos (x) ja tan (x).

Teised trigonomeetrilised funktsioonid saadakse kolmest eespool nimetatud funktsioonist.

Funktsioonide piirid

Funktsioonipiiri mõiste selgitamiseks esitatakse mõned lihtsate funktsioonidega näited.

- F (x) = 3 piir, kui "x" kaldub "8" -ni, on "3", sest funktsioon on alati konstantne. Ükskõik kui palju "x" on väärt, on f (x) väärtus alati "3"..

- F (x) = x-2 piir, kui "x" kaldub "6" -ni, on "4". Kuna "x" läheneb "6", läheneb "x-2" "6-2 = 4".

- G (x) = x² piir, kui "x" kaldub "3" -ni, on võrdne 9-ga, sest kui "x" läheneb "3", läheneb "x²" "3² = 9"..

Nagu eelmistest näidetest näha, seisneb piirväärtuse arvutamises väärtuse hindamine, millele "x" funktsiooni kaldub, ja tulemus on piirväärtuse väärtus, kuigi see kehtib ainult pidevate funktsioonide puhul..

Kas on keerulisemaid piiranguid?

Vastus on jah. Ülaltoodud näited on piiride lihtsamad näited. Arvutusraamatutes on peamised piirid harjutused, mis loovad tüübi 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ja (∞) määramatuse ^ 0.

Neid väljendeid nimetatakse indeterminatsioonideks, kuna need on väljendid, mis matemaatiliselt ei ole mõistlikud.

Lisaks võib sõltumatult algse limiidi funktsioonidest sõltumatute tulemuste lahendamisel saadud tulemus igal juhul olla erinev.

Lihtsate trigonomeetriliste piiride näited

Piiride lahendamiseks on alati kasulik teada kaasatud funktsioonide graafikuid. Allpool on siinuse, kosinuse ja puutuja funktsioonide graafikud.

Mõned lihtsate trigonomeetriliste piiride näited on:

- Arvutage sin (x) piir, kui "x" kaldub "0" -ni.

Graafiku vaatamisel näete, et kui "x" läheneb "0" (nii vasakul kui ka paremal), läheneb siinusgraafile ka "0". Seetõttu on sini (x) piir, kui "x" kaldub "0", on "0".

- Arvuta cos (x) piir, kui "x" kaldub "0" -ni.

Kosiniiniagrammi vaadates võib näha, et kui "x" on "0" lähedal, siis on kosiiniagramm "1" lähedal. See tähendab, et cos (x) piir, kui "x" kaldub "0" -ni, on võrdne "1" -ga..

Võib esineda piirang (olla number), nagu eelmistes näidetes, kuid võib juhtuda ka, et seda ei eksisteeri, nagu on näidatud järgmises näites.

- Tan (x) piir, kui "x" kaldub "Π / 2" vasakule, on võrdne "+ ∞", nagu on näha graafikust. Teisest küljest on tan (x) piir, kui "x" kaldub paremale "-Π / 2", võrdub "-∞".

Trigonomeetriliste piiride identiteedid

Trigonomeetriliste piiride arvutamisel on kaks väga kasulikku identiteeti:

- "Sin" (x) / x ", kui" x "kaldub" 0 ", on võrdne" 1 ".

- "(1-cos (x)) / x", kui "x" kaldub "0", on võrdne "0" -ga..

Neid identiteete kasutatakse väga sageli, kui teil on mingisugune määramatus.

Lahendatud harjutused

Lahendage järgmised piirangud, kasutades ülalkirjeldatud identiteete.

- Arvutage "f (x) = sin (3x) / x" piir, kui "x" kaldub "0" -ni.

Kui funktsiooni "f" hinnatakse "0", saadakse 0/0 tüübi määramatus. Seetõttu peame püüdma lahendada selle määramatuse, kasutades kirjeldatud identiteete.

Ainus erinevus selle piiri ja identiteedi vahel on number 3, mis ilmub siinusfunktsiooni sees. Identiteedi rakendamiseks tuleb funktsioon "f (x)" ümber kirjutada järgmiselt: "3 * (sin (3x) / 3x)". Nüüd on nii siinuse argument kui ka nimetaja võrdsed.

Nii et kui "x" kaldub "0" -ni, siis kasutatakse identiteedi kasutamisel "3 * 1 = 3". Seega on f (x) piir, kui "x" kaldub "0", on võrdne "3"..

- Arvutage "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" piir, kui "x" kaldub "0" -ni.

Kui "x = 0" on asendatud g (x) -ga, saadakse tüübi ∞-∞ määramatus. Selle lahendamiseks lahutatakse fraktsioonid, mis annavad tulemuse "(1-cos (x)) / x".

Nüüd, kui rakendate teist trigonomeetrilist identiteeti, on meil g (x) piir, kui "x" kaldub "0" -ni, mis on võrdne 0-ga.

- Arvutage "h (x) = 4tan (5x) / 5x" piir, kui "x" kaldub "0" -ni.

Jällegi, kui hindate h (x) väärtust "0", saate 0/0 tüübi määramata.

Tan (5x) ümberkirjutamine sin (5x) / cos (5x) tulemustena, et h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Kasutades piiri 4 / cos (x), kui "x" kaldub "0" -ni, on võrdne "4/1 = 4" ja esimene trigonomeetriline identiteet saadakse, kui h (x) piirneb, kui "x" kaldub "0" võrdub "1 * 4 = 4".

Vaatlus

Trigonomeetrilisi piire ei ole alati lihtne lahendada. Selles artiklis näidati ainult põhilisi näiteid.

Viited

1. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Matemaatika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E.. Precalculus matemaatika: probleemide lahendamise lähenemisviis (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage'i õppimine.
5. Leal, J. M., ja Viloria, N. G. (2005). Lame analüütiline geomeetria. Mérida - Venezuela: toimetamine Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Arvutamine (Üheksas väljaanne). Prentice'i saal.
8. Saenz, J. (2005). Diferentsiaalarvutus varase transsendentaalse funktsiooniga teadusele ja insenerile (Second Edition ed.). Hüpotenus.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, osa: Analüütilised koonikud (1907) (kordustrükk ed.). Valgusallikas.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.