Mis on Gravicentro? (näidetega)



The gravicentro on määratlus, mida kasutatakse geomeetrias laialdaselt kolmnurkadega töötamisel.

Gravicentro mõiste mõistmiseks on vaja kõigepealt teada kolmnurga "mediaanide" määratlust.

Kolmnurga mediaanid on joonesegmendid, mis algavad igas tipus ja jõuavad selle tipu keskpunktini, mis on selle tipu vastas.

Kolmnurga kolme mediaani lõikepunkti nimetatakse barycenteriks või seda tuntakse ka gravicentro nime all..

Ei piisa lihtsalt selle määratluse tundmisest, on huvitav teada, kuidas seda punkti arvutatakse.

Barycenteri arvutamine

Arvestades kolmnurga ABC, mille tipud on A = (x1, y1), B = (x2, y2) ja C = (x3, y3), on meil, et gravicentro on kolmnurga keskmiste ristumiskoht.

Kiire valem, mis võimaldab arvutada kolmnurga gravitsentro, on teada selle tippude koordinaadid:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Selle valemiga saate teada gravicentro asukohta Cartesiuse lennukil.

Gravicentro omadused

Kolmnurga kolme mediaani ei ole vaja joonistada, sest nende kahe joonistamisel on ilmne, kus on gravitsiin.

Gravicentro jagab iga mediaani kaheks osaks, mille osakaal on 2: 1, st iga mediaani kaks segmenti jagatakse 2/3 ja 1/3 pikkuste segmentide vahel, seda suurem on kaugus, mis on tippu ja gravicentro vahel.

Järgnev pilt illustreerib seda omadust kõige paremini.

Gravicentro arvutamise valem on väga lihtne. Selle valemi saamise viisiks on iga mediaani defineeriva rea ​​võrrandi arvutamine ja seejärel nende joonte lõikepunkti leidmine.

Harjutused

Järgnevalt on toodud väike loetelu barycenteri arvutamisega seotud probleemidest.

1.- Arvutades tippude A = (0,0), B = (1,0) ja C = (1,1) kolmnurga, arvutatakse kolmnurga gravitsenter.

Kasutades antud valemit, võib kiiresti järeldada, et kolmnurga ABC gravicentro on:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Kui kolmnurgal on tipud A = (0,0), B = (1,0) ja C = (1 / 2,1), siis millised on gravitsi koordinaadid?

Kuna kolmnurga tipud on teada, rakendatakse gravitsentro arvutamise valemit. Seetõttu on gravicentro koordinaadid:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Arvuta võimalikud gravitandid võrdkülgse kolmnurga jaoks nii, et kaks selle tipu on A = (0,0) ja B = (2,0).

Selles harjutuses täpsustatakse ainult kolmnurga tippu. Võimalike gravitsiinide leidmiseks tuleb kõigepealt arvutada kolmnurga kolmas tipp.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne ja vahemaa A ja B vahel on 2, siis on meil kolmanda tipu C, see peab olema A ja B vahemaa 2 kaugusel.

Kasutades asjaolu, et võrdkülgse kolmnurga kõrgus langeb kokku mediaaniga ja kasutab ka Pythagori teooriat, võib järeldada, et kolmanda tipu koordinaatide valikud on C1 = (1, √3) või C2 = (1, - √3).

Nii on kahe võimaliku gravitsi koordinaadid järgmised:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-3) / 3) = (3/3, -3 / 3) = (1, -3 / 3).

Tänu eelmistele kontodele võib märkida, et mediaan jagati kaheks osaks, mille osakaal on 2: 1.

Viited

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geomeetria (Reprint ed.). Edu.
  2. Leake, D. (2006). Kolmnurgad (illustreeritud). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Geomeetria. CR tehnoloogia.
  5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonomeetria ja analüütiline geomeetria. Pearson Education.