Märkimisväärne toodete selgitus ja harjutused lahendati



The märkimisväärseid tooteid need on algebralised toimingud, kus väljendatakse polünoomide korrutamist, mida ei ole vaja traditsiooniliselt lahendada, vaid teatud reeglite abil leiad nende tulemused.

Polünoomid korrutatakse iseenesest, seega võib neil olla palju termineid ja muutujaid. Protsessi lühemaks muutmiseks kasutatakse tähelepanuväärsete toodete reegleid, mis võimaldavad teha korrutamisi ilma tähtaegade kaupa..

Indeks

  • 1 Märkimisväärsed tooted ja näited
    • 1.1 Binomiaalne ruudus
    • 1.2 Konjugeeritud binoomide produkt
    • 1.3 Ühise terminiga kahe binomiooni toode
    • 1.4 Polünoom on ruudus
    • 1.5 Bubomiaalne kuubile
    • 1.6 Trinomiaalse kopp
  • 2 Märkimisväärsetele toodetele lahendused
    • 2.1 Harjutus 1
    • 2.2 Harjutus 2
  • 3 Viited

Märkimisväärsed tooted ja näited

Iga tähelepanuväärne toode on valem, mis tuleneb faktoriseerimisest, mis koosneb erinevate terminite polünoomidest nagu binomiaalsed või trinomiaalsed tegurid..

Tegurid on võimu aluseks ja neil on eksponent. Kui tegurid korduvad, tuleb lisada eksponendid.

On mitmeid märkimisväärseid tootevalikuid, mõned neist on rohkem kui teised, sõltuvalt polünoomidest ja need on järgmised:

Binomiaalne ruudus

See on binomiaalne korrutamine iseenesest, väljendatuna võimu vormis, kus terminid lisatakse või lahutatakse:

a. Binomiaalne summa ruudule: on võrdne esimese ametniku ruuduga, millele lisandub kahekordne terminite summa, pluss teise ametiaja ruut. Seda väljendatakse järgmiselt:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Järgnev joonis näitab, kuidas toode on välja töötatud vastavalt ülaltoodud reeglile. Tulemust nimetatakse täiusliku ruudu trinoomiks.

Näide 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Näide 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Lahutamise binomiaalne ruut: sama reegel kehtib ka binomiaalse summa kohta, ainult et antud juhul on teine ​​termin negatiivne. Selle valem on järgmine:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Näide 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Konjugeeritud binoomide produkt

Kaks binomaati konjugeeritakse siis, kui iga teise termini erinevad märgid on, st esimesed on positiivsed ja teise negatiivse tähega. Lahenda iga monomeeri ruudu ja lahuta. Selle valem on järgmine:

(a + b) * (a - b)

Järgneval joonisel on välja töötatud kahe konjugeeritud binomiidi toode, kus täheldatakse, et tulemus on ruutude erinevus.

Näide 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 - 9b2.

Toode kahest binomiaalist, millel on ühine termin

See on üks keerukamaid ja vähe kasutatavaid tähelepanuväärseid tooteid, sest see on kahe binomiaalse korrutamisega, millel on ühine termin. Reegel näitab järgmist:

  • Ühise termini ruut.
  • Lisaks lisage need terminid, mis ei ole tavalised, ja korrutatakse need üldise terminiga.
  • Pluss mitte tavaliste terminite korrutamise summa.

See on esitatud valemiga: (x + a) * (x + b) ja see on välja töötatud vastavalt pildile. Tulemuseks on ruudukujuline trinomiaal, mis pole täiuslik.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

On võimalik, et teine ​​termin (erinev termin) on negatiivne ja selle valem on järgmine: (x + a) * (x - b).

Näide 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4. \ T * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Samuti võib juhtuda, et mõlemad erinevad mõisted on negatiivsed. Selle valem on: (x - a) * (x - b).

Näide 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Ruudukujuline polünoom

Sel juhul on rohkem kui kaks terminit ja seda arendatakse, igaüks on ruudus ja lisatakse koos kaks korda korrutatuna ühe terminiga teise; selle valem on: (a + b + c)2 operatsiooni tulemus on kolmnurkne ruudus.

Näide 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomiaalne kuubile

See on tähelepanuväärne komplekstoode. Selle arendamiseks korrutage binomiaal oma ruudu abil järgmiselt:

a. Binomiaalse kuubi summa:

  • Esimese termini kuubik, pluss esimese ametiaja nelinurk teise võrra.
  • Pluss kolmekordne tähtaeg, teiseks ruuduks.
  • Plus teise kuubi kuubik.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Näide 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Lahutamise kuubiku binomiaalne väärtus:

  • Esimese perspektiivi kuubik, millest on maha arvatud esimese ametiaja nelinurk.
  • Pluss kolmekordne tähtaeg, teiseks ruuduks.
  • Vähem teise termini kuubik.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Näide 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Trinomiaalse kopp

See areneb, korrutades selle selle ruuduga. Tegemist on tähelepanuväärse tootega, mis on väga ulatuslik, sest kuubil on kolm terminit, millele lisandub kolm korda iga ruut, korrutatuna iga terminiga, pluss kuus korda kolmest terminist. Paremini vaadatud:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Näide 1

Oluliste toodete lahendatud harjutused

Harjutus 1

Arendage kuubile järgmine binomiaalne: (4x - 6)3.

Lahendus

Meenutades, et kuubi binomiaalne suurus on võrdne kuubikule tõstatatud esimese terminiga, millest on maha arvatud esimese perspektiivi ruudu kolmekordne väärtus; pluss esimese perspektiivi kolmekordne suurus, teise ruudu võrra, miinus teise ametiaja kuubik.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Harjutus 2

Töötage välja järgmine binomiaalne: (x + 3) (x + 8).

Lahendus

Seal on binomiaal, kus on ühine termin, mis on x ja teine ​​termin positiivne. Selle arendamiseks on vaja ainult ühine termin, pluss nende tavade summa, mis ei ole tavalised (3 ja 8), ja seejärel korrutada need ühise terminiga, millele lisandub mitte tavaliste terminite korrutamine.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3. \ T*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Viited

  1. Angel, A. R. (2007). Algne algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matemaatika Plus 8. Ühendkuningriik: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Alg- ja kesktasemel algebra: kombineeritud lähenemisviis. Florida: Cengage'i õppimine.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.