Mitmekordsed põhimõttelised loendusmeetodid ja näited



The mitmekordne põhimõte on tehnika, mida kasutatakse lahenduse leidmiseks probleemide leidmiseks, ilma et oleks vaja loetleda selle elemente. Seda tuntakse ka kombinatoorse analüüsi aluspõhimõttena; põhineb järjestikusel korrutamisel, et määrata, kuidas sündmus võib toimuda.

See põhimõte sätestab, et kui otsus (d1) võib võtta n viisil ja teise otsusega (d2) võib võtta m viisil, otsuste tegemise võimaluste koguarvu1 ja d2 on võrdne n korrutamisega * m. Selle põhimõtte kohaselt tehakse iga otsus üksteise järel: viiside arv = N1 * N2... * Nx viisil.

Indeks

  • 1 Näited
    • 1.1 Näide 1
    • 1.2 Näide 2
  • 2 Loendamismeetodid
    • 2.1 Lisamise põhimõte
    • 2.2 Permutatsiooni põhimõte
    • 2.3 Kombinatsiooni põhimõte
  • 3 Harjutused lahendatud
    • 3.1 Harjutus 1
    • 3.2 Harjutus 2
  • 4 Viited

Näited

Näide 1

Paula plaanib oma sõpradega filmidele minna ja riiete valimiseks kanda eraldi 3 pluusi ja 2 seelikut. Kui palju võimalusi Paula riietuda saab??

Lahendus

Sel juhul peab Paula tegema kaks otsust:

d1 = Valige 3 pluusist = n

d2 = Valige 2 seelik = m

Nii on Paula n * m otsused teha või erinevaid viise sidumiseks.

n * m = 3* 2 = 6 otsust.

Mitmekordne põhimõte tuleneb puu diagrammi tehnikast, mis on diagramm, mis seob kõiki võimalikke tulemusi, nii et igaüks võib esineda piiratud arv kordi.

Näide 2

Mario oli väga janu, seega läks ta mahla ostmiseks pagariäri. Luis vastab talle ja ütleb talle, et tal on kaks suurust: suur ja väike; ja neli maitset: õun, apelsin, sidrun ja viinamarjad. Mitu viisi saab Mario mahla valida?

Lahendus

Diagrammil võib täheldada, et Mario-l on mahla valimiseks 8 erinevat võimalust ja et nagu ka multiplikatiivses printsiibis, saadakse see tulemus n korrutamisel.*m. Ainus erinevus on see, et selle diagrammi abil saate teada, kuidas Mario valib mahla.

Teisest küljest, kui võimalike tulemuste arv on väga suur, on praktilisem kasutada mitmekordset põhimõtet.

Loendamismeetodid

Loendusmeetodid on meetodid, mida kasutatakse otsese loenduse tegemiseks, ja seega teavad võimalike korralduste arvu, mida antud komplekti elemendid võivad sisaldada. Need meetodid põhinevad mitmel põhimõttel:

Lisamise põhimõte

See põhimõte sätestab, et kui kahte sündmust m ja n ei saa samaaegselt esineda, siis esimese või teise sündmuse toimumise viiside arv on m + n summa:

Vormide arv = m + n ... + x erinevad vormid.

Näide

Antonio tahab reisida, kuid ei otsusta, milline sihtkoht; Lõuna-Turismiametis pakuvad nad Teile reklaami, et reisida New Yorki või Las Vegasesse, samas kui Ida-Turismiamet soovitab reisida Prantsusmaale, Itaaliasse või Hispaaniasse. Kui palju erinevaid reisimisvõimalusi Antonio pakub?

Lahendus

Lõuna-Turismiagentuuriga on Antonio'il kaks võimalust (New York või Las Vegas), samas kui Ida turismiametil on kolm võimalust (Prantsusmaa, Itaalia või Hispaania). Erinevate alternatiivide arv on:

Alternatiivide arv = m + n = 2 + 3 = 5 alternatiivi.

Permutatsiooni põhimõte

Tegemist on konkreetselt kõigi või mõne komplekti moodustavate elementide tellimisega, et hõlbustada kõikide võimalike kokkulepete koostamist, mida saab teha elementidega.

Kõigi korraga tehtud n erinevate elementide permutatsioonide arv on esitatud järgmiselt:

nPn = n!

Näide

Neli sõpra tahavad pildistada ja tahavad teada, kui palju erinevaid vorme saab tellida.

Lahendus

Sa tahad teada kõiki võimalikke viise, kuidas 4 inimest saab pildistada. Seega peate:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 erinevat viisi.

Kui n olemasolevate elementide permutatsioonide arv on tehtud r elemendi moodustatud komplekti osade poolt, on see esindatud järgmiselt:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Näide

Klassiruumis on 10 ametikohta. Kui klassis osaleb 4 õpilast, siis kui palju erinevaid võimalusi õpilased võivad asuda?

Lahendus

Toolide komplekti koguarv on 10 ja neist ainult 4, antud valemit kasutatakse permutatsioonide arvu määramiseks:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 viisi postituste täitmiseks.

On juhtumeid, kus mõningaid komplekti olemasolevaid elemente korratakse (need on samad). Kõikide elementide korraga võtmise korra arvutamiseks kasutatakse järgmist valemit:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Näide

Kui palju sõnu "neljas" võib sõnalt "hunt" moodustada?

Lahendus

Sel juhul on meil 4 elementi (tähed), millest kaks on täpselt samad. Antud valemit rakendades teame, kui palju erinevaid sõnu on:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 erinevat sõna.

Kombinatsiooni põhimõte

Tegemist on kõigi või mõne komplekti moodustava elemendi kinnitamisega ilma kindla järjekorra. Näiteks kui teil on XYZ-massiiv, siis on see identne ZXY-, YZX-, ​​ZYX-massiividega; Seda seetõttu, et hoolimata sellest, et nad ei ole samas järjekorras, on iga kokkuleppe elemendid samad.

Kui tehakse komplekti (n) mõned elemendid (r), antakse kombinatsiooni põhimõte järgmise valemiga:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Näide

Kaupluses müüvad nad 5 erinevat tüüpi šokolaadi. Mitu erinevat võimalust saab valida 4 šokolaadi?

Lahendus

Sel juhul peate valima 4 šokolaadi 5 kaupluses müüdud tooteliigist. Nende valimise järjekord ei ole oluline ja lisaks sellele võib šokolaadi tüüpi valida rohkem kui kaks korda. Valemit rakendades peate:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 erinevat võimalust valida 4 šokolaadi.

Kui kõik komplekti (n) elemendid (r) on võetud, antakse kombinatsiooni põhimõte järgmise valemiga:

nCn = n!

Lahendatud harjutused

Harjutus 1

Sul on pesapallimeeskond 14 liikmega. Mitmel moel saab mängule anda 5 positsiooni?

Lahendus

Komplekt koosneb 14 elemendist ja soovite määrata 5 konkreetset asukohta; see tähendab, et see on oluline. Permutatsioonivalemit kasutatakse juhul, kui n kättesaadavad elemendid on tehtud r-i poolt moodustatud komplekti osade poolt.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Kus n = 14 ja r = 5. See on asendatud valemiga:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 viisi 9 mängukoha määramiseks.

Harjutus 2

Kui 9-liikmeline pere läheb reisile ja ostab oma pileteid järjestikuste istmetega, siis mitu erinevat viisi nad saavad istuda?

Lahendus

See on umbes 9 elementi, mis võtavad järjest 9 kohta.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 erinevat istumisviisi.

Viited

  1. Hopkins, B. (2009). Vahendid diskreetse matemaatika õpetamiseks: klassiruumid, ajaloo moodulid ja artiklid.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskreetne matemaatika Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Lõplik ja diskreetne matemaatika probleemide lahendaja. Teadus- ja haridusliidu toimetajad.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskreetne matemaatika Poliitika. Katalooniast.
  5. Steiner, E. (2005). Rakendusteaduste matemaatika. Reverte.