Homothety omadused, tüübid ja näited

The homotecia on geomeetriline muutus tasapinnal, kus fikseeritud punktist, mida nimetatakse keskuseks (O), korrutatakse vahemaad ühise teguriga. Sel viisil vastab iga punkt P teisele transformatsiooni punktile P 'ja need on joondatud punktiga O.

Seejärel on homoteet kahe geomeetrilise figuuri vastavus, kus transformeeritud punkte nimetatakse homoteetiliseks ja need on joondatud fikseeritud punktiga ja segmentidega, mis on paralleelsed üksteisega.

Indeks

• 1 Homotecia
• 2 Atribuudid
• 3 tüüpi
  • 3.1 Otsene homothety
  • 3.2 Tagurpidi homothety
• 4 Koosseis
• 5 Näited
  • 5.1 Esimene näide
  • 5.2 Teine näide
• 6 Viited

Homothety

Homothety on ümberkujundamine, millel ei ole kongruentset kujutist, sest jooniselt saadakse üks või mitu suuremat või väiksemat numbrit kui algne näitaja; see tähendab, et homothety muudab hulknurga teiseks sarnaseks.

Et homothety täidetaks, peavad nad vastama punktist punktini ja sirgelt sirgeni, nii et homoloogiliste punktide paarid oleksid joondatud kolmanda fikseeritud punktiga, mis on homothety keskpunkt..

Samamoodi peavad neid ühendavate liinide paarid olema paralleelsed. Selliste segmentide vaheline suhe on konstant, mida nimetatakse homoteetiliseks suhteks (k); sellisel viisil, et homothety saab määratleda järgmiselt:

Selleks, et seda tüüpi ümberkujundamist alustada, valides suvalise punkti, mis on homotüüsi keskpunkt.

Sellest hetkest alates joonistatakse joonesegmendid iga muutuva tipu tippu. Uue joonise reprodutseerimise skaala on antud homotüüpsuse (k) tõttu..

Omadused

Homothety üks peamisi omadusi on see, et homoteetilisuse (k) tõttu on kõik homoteetilised arvud sarnased. Muude silmapaistvate omaduste hulgas on järgmised:

- Homothetyuse keskpunkt (O) on ainus kahekordne punkt ja see muutub iseendaks; see tähendab, et see ei erine.

- Liinid, mis läbivad keskust, muutuvad ise (need on kahekordsed), kuid need moodustavad punktid ei ole kahekordsed.

- Sirged, mis ei läbi keskme, muudetakse paralleelseteks joonedeks; sel moel jäävad homothety nurkad samaks.

- Segmendi kujutis, mille keskpunkt on homotüüp ja suhe k, on sellega paralleelne segment, mille pikkus on k korda suurem. Näiteks, nagu on näha järgmisest pildist, annab homoteetiline segment AB teise segmendi A'B ', nii et AB on paralleelne A'B'ga ja k on:

- Homoteetilised nurgad on võrdsed; see tähendab, et neil on sama meede. Seetõttu on nurga kujutiseks sama amplituudiga nurk.

Teisest küljest varieerub homothety sõltuvalt selle suhte väärtusest (k) ja võib esineda järgmisi juhtumeid:

- Kui konstant on k = 1, on kõik punktid fikseeritud, sest nad muutuvad ise. Seega langeb homoteetiline näitaja originaalile ja transformatsiooni nimetatakse identiteedi funktsiooniks.

- Kui k ≠ 1, on ainus fikseeritud punkt homothety (O) keskpunkt..

- Kui k = -1, muutub homothetyks keskne sümmeetria (C); see tähendab, et pöörlemine C ümber toimub 180 ° nurga all^o.

- Kui k> 1, on transformeeritud näitaja suurus suurem kui originaali suurus.

- Jah 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Jah -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Kui k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Tüübid

Homotüübi võib liigitada ka kahte tüüpi, sõltuvalt selle suhte väärtusest (k):

Otsene homothety

See juhtub, kui konstant on k> 0; see tähendab, et homoteetilised punktid asuvad kesklinnaga samal küljel:

Proportsionaalsuse tegur või sarnasuse suhe otseste homoteetiliste näitajate vahel on alati positiivne.

Tagurpidi homoteetiline

See juhtub, kui konstant on k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Proportsionaalsuse tegur või sarnasuse suhe homoteetiliste pöördarvude vahel on alati negatiivne.

Koostis

Kui mitu liikumist tehakse järjestikku, kuni saadakse originaali võrdne arv, toimub liikumiste koostis. Mitme liigutuse koosseis on samuti liikumine.

Kahe homothecia koostise tulemuseks on uus homothecia; see tähendab, et meil on homoteetiline toode, kus keskus on joondatud kahe algse teisenduse keskmega ja suhe (k) on kahe põhjuse tulemus..

Seega, kahe H homothecese koostises₁(Or₁, k₁) ja H₂(Or₂, k₂), korrutades oma põhjused: k₁ x k₂ = 1 annab homotüübi suhtarvu k₃ = K₁ x k₂. Selle uue homotüüsi keskus (O₃) asub O sirgel₁ O₂.

Homothety vastab lame ja pöördumatule muutusele; kui kasutatakse kahte koduteksti, millel on sama keskus ja suhe, kuid millel on erinev märk, saadakse algne arv.

Näited

Esimene näide

Kandke kindlat keskpunkti (O), mis asub punktist A 5 cm ja mille suhe on k = 0,7.

Lahendus

Ükskõik milline punkt valitakse homötiidi keskmeks ja sellest joonest joonistatakse joonise tipud:

Kaugus kesklinnast (O) punktini A on OA = 5; sellega saate määrata ühe homotüütilise punkti (OA) kauguse, teades ka seda, et k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Protsessi saab teha iga tipu jaoks või võite joonistada ka homoteetilise polügooni, mäletades, et kahel hulknurgal on paralleelsed küljed:

Lõpuks näeb ümberkujundamine välja selline:

Teine näide

Kandke kindla keskpunkti hulk (O), mis asub punktist C 8,5 cm ja mille y suhe k = -2.

Lahendus

Kaugus (O) punktist C on OC = 8,5; nende andmetega on võimalik kindlaks määrata ühe homoteetilise punkti (OC ') kaugus, teades ka seda, et k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Pärast transformeeritud polügooni tippude segmentide joonistamist on meil, et algpunktid ja nende homotüübid asuvad keskuse suhtes vastassuunas:

Viited

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniline joonis: tegevused sülearvuti.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afiinsus, homoloogia ja homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaarne algebra ja projektiivne geomeetria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Üldine matemaatika, tõenäosused ja statistika.
5. Meserve, B. E. (2014). Geomeetria põhimõtted. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Algebra tutvustus. Reverte.