Faktoriseerimise meetodid ja näited

The faktoriseerimine on meetod, mille kaudu väljendatakse polünoomi tegurite paljunemise vormis, mis võib olla numbrid, tähed või mõlemad. Tingimuste faktoriseerimiseks, mis on ühised terminitele, on rühmitatud ja sellisel viisil laguneb polünoom mitmeks polünoomiks.

Seega, kui tegurid üksteist korrutavad, on tulemus algne polünoom. Faktoratsioon on väga kasulik meetod, kui teil on algebraline väljendus, sest seda saab muuta mitme lihtsa terminiga korrutamiseks; Näiteks: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

On juhtumeid, kus polünoomi ei saa arvestada, sest selle tingimuste vahel puudub ühine tegur; seega on need algebralised väljendid jagatavad ainult omavahel ja 1. Näiteks: x + y + z.

Algebralises väljendis on ühine tegur selle moodustavate terminite suurim ühine jagaja.

Indeks

• 1 Faktoratsioonimeetodid
  • 1.1 Faktoriseerimine ühise teguriga
  • 1.2 Näide 1
  • 1.3 Näide 2
  • 1.4 Faktooring rühmitamise teel
  • 1.5 Näide 1
  • 1.6 Faktorimine kontrollimise teel
  • 1.7 Näide 1
  • 1.8 Näide 2
  • 1.9 Faktoriseerimine tähelepanuväärsete toodetega
  • 1.10 Näide 1
  • 1.11 Näide 2
  • 1.12 Näide 3
  • 1.13 Faktoriseerimine Ruffini reegli järgi
  • 1.14 Näide 1
• 2 Viited

Faktoratsioonimeetodid

On mitmeid faktooringumeetodeid, mida rakendatakse sõltuvalt juhtumist. Mõned neist on järgmised:

Faktoriseerimine ühise teguri abil

Selle meetodi puhul identifitseeritakse need tegurid, mis on tavalised; see tähendab neid, mida väljendatakse väljendiga. Seejärel rakendatakse jaotusomadust, eemaldatakse maksimaalne ühine jagaja ja faktoriseerimine on lõppenud.

Teisisõnu, ühine väljenditegur on tuvastatud ja iga termin on jagatud selle vahel; saadud terminid korrutatakse faktoriseerimise väljendamiseks kõige suurema ühise teguriga.

Näide 1

Tegur (b²x) + (b²y).

Lahendus

Kõigepealt on iga termini ühine tegur, mis antud juhul on b², ja seejärel jagatakse terminid ühise teguri vahel järgmiselt:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Tegemist on faktoriseerimisega, mis korrutab ühise teguri tulemustega:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Näide 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

Lahendus

Sel juhul on meil kaks tegurit, mida korratakse igas terminis, mis on "a" ja "b" ning mis on kõrgendatud võimule. Nende tegurite tegemiseks jaotatakse kaks mõistet nende pikkasse vormi:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Võib täheldada, et faktorit "a" korratakse ainult ühe korra teisel ametiajal ja tegurit "b" korratakse selles kaks korda; nii et esimeses perspektiivis on ainult 2, tegur "a" ja "b"; teisel ametiajal on ainult 3.

Seetõttu kirjutame ajad, mil "a" ja "b" korratakse ja korrutatakse teguritega, mis jäävad igast terminist üle, nagu on näha pildist:

Faktoriseerimine rühmitamise teel

Kuna polünoomi maksimaalne ühine jagaja ei ole kõigil juhtudel selgelt väljendatud, on vaja teha muid samme, et polünoomi ja seega tegurit ümber kirjutada..

Üks neist sammudest on rühmitada polünoomi tingimused mitmesse rühma ja seejärel kasutada ühist tegurimeetodit.

Näide 1

Tegur ac + bc + ad + bd.

Lahendus

Seal on 4 tegurit, kus kaks on ühised: esimeses perspektiivis on see "c" ja teises on "d". Sel viisil rühmitatakse ja eraldatakse kaks mõistet:

(ac + bc) + (reklaam + bd).

Nüüd on võimalik rakendada ühist tegurimeetodit, jagades iga termini selle ühise teguriga ja korrutades selle ühise teguri tulemustega, nagu see:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nüüd saad binomiumi, mis on mõlema termini jaoks tavaline. Selle tegur korrutatakse ülejäänud teguritega; nii peate:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktoriseerimine kontrollimise teel

Seda meetodit kasutatakse kvadraalsete polünoomide tegemiseks, mida nimetatakse ka trinomiaalseteks; see tähendab, et need on struktureeritud kirves² ± bx + c, kus "a" väärtus erineb 1.st. Seda meetodit kasutatakse ka siis, kui trinomial on vorm x² ± bx + c ja väärtus "a" = 1.

Näide 1

Tegur x² + 5x + 6.

Lahendus

Teil on nelinurkne trinoom, mis on vormis x² ± bx + c. Selle tegemiseks peate leidma kaks numbrit, mis korrutades annavad tulemuseks "c" väärtuse (see tähendab 6) ja selle summa võrdub koefitsiendiga "b", mis on 5. Need numbrid on 2 ja 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Sel viisil lihtsustatakse sellist väljendit:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Iga termin on arvesse võetud:

- Sest (x² + 2x) eraldatakse ühine termin: x (x + 2)

- For (3x + 6) = 3 (x + 2)

Seega jääb väljend:

x (x + 2) + 3 (x + 2).

Kuna teil on ühine binomiaal, vähendage väljendit selle ülejäägiga ja sa pead:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Näide 2

Tegur 4a² + 12a + 9 = 0.

Lahendus

Teil on nelinurkne trinoom, mis on vormis kirves² ± bx + c ja selle teguri korrutamiseks korrutatakse kogu väljend x koefitsiendiga²; antud juhul 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Nüüd peame leidma kaks numbrit, mis korrutades annavad tulemuseks "c" väärtuse (mis on 36) ja et kui kokku liita, siis saadakse termini "a" koefitsient, mis on 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Sel viisil kirjutatakse väljend ümber, võttes seda arvesse² a² = 4a _* 4a. Seetõttu rakendatakse jaotusomandit iga terminiga:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Lõpuks jagatakse väljend väljendiga²; see tähendab, et 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Väljend on järgmine:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring tähelepanuväärsete toodetega

On juhtumeid, kus polünoomide täielikuks tegemiseks varasemate meetoditega muutub see väga pikkaks protsessiks.

Sellepärast saab väljundit arendada märkimisväärsete toodete valemitega ja seega muutub protsess lihtsamaks. Kõige kasutatavamad märgatavad tooted on:

- Kahe ruudu erinevus: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Täiuslik ruudu summa: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Erineva ruudu täiuslik ruut: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Kahe kuubiku erinevus: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Kahe kuubiku summa: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Näide 1

Faktor (5. \ T² - x²)

Lahendus

Sel juhul on kahe ruudu vahe; seetõttu kasutatakse märkimisväärse toote valemit:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5)² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Näide 2

Tegur 16x² + 40x + 25²

Lahendus

Sellisel juhul on meil täiuslik summa, sest me saame tuvastada kaks ruutu ja ülejäänud tähtaeg on tingitud kahest korrutamisest esimese perspektiivi ruutjuurega, teise perspektiivi ruutjuure järgi.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Et arvutada, arvutatakse ainult esimese ja kolmanda termini ruutjuured:

√ (16x²) = 4x

25 (25²) = 5.

Seejärel eraldatakse need kaks mõtet operatsiooni märgiga ja kogu polünoom on ruudus:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Näide 3

Tegur 27a³ - b³

Lahendus

Väljend kujutab lahutamist, milles kaks tegurit tõstetakse kuubi. Nende tegemiseks kasutatakse kuubi vahe märkimisväärse toote valemit, mis on:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Seega ekstraheerimiseks ekstraheeritakse iga binomiaalse termini kuupõhine juur ja korrutatakse esimese termini ruuduga, millele lisandub esimese termini produkt teiseks ametiajaks, pluss teine ​​ruudu tähtaeg.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoriseerimine Ruffini reegli järgi

Seda meetodit kasutatakse siis, kui teil on polünoom, mille kraad on suurem kui kaks, et lihtsustada väljendust mitmele väiksema astme polünoomile.

Näide 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Lahendus

Kõigepealt otsige numbreid, mis on 12 jagajad, mis on iseseisev termin; need on ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ja ± 12.

Siis asendatakse x need väärtused, kõige madalamast kuni kõrgeimani, ja seega määratakse kindlaks, milline väärtustest on jagamine täpne; see tähendab, et ülejäänud peab olema 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Ja nii edasi iga jagaja jaoks. Sel juhul on leitud tegurid x = -1 ja x = 2.

Nüüd rakendatakse Ruffini meetodit, mille kohaselt jagatakse ekspressiooni koefitsiendid tegurite vahel, mida jagunemine on täpne. Polünoomi terminid on tellitud kõrgeimast kuni madalaima eksponendini; juhul, kui puudub järjekorras järgitav aste, paigutatakse selle asemel 0.

Koefitsiendid asuvad skeemil, nagu on näha järgmises pildis.

Esimest koefitsienti vähendatakse ja jagatakse jagajaga. Sel juhul on esimene jagaja -1 ja tulemus paigutatakse järgmisesse veergu. Siis lisatakse koefitsiendi väärtus vertikaalselt selle tulemusega, mis saadi ja tulemus paigutatakse allpool. Nii korratakse protsessi kuni viimase veerguni.

Seejärel korratakse sama protseduuri, kuid teise jagajaga (mis on 2), sest väljendit saab veel lihtsustada.

Seega on iga saadud juure puhul polünoomi termin (x - a), kus "a" on juure väärtus:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Teisest küljest tuleb neid tingimusi korrutada ülejäänud Ruffini reegli 1: 1 ja -6 järgi, mis on hinne esindavad tegurid. Sel viisil moodustunud väljend on: (x² + x - 6).

Polünoomi faktoriseerimise tulemuse saamine Ruffini meetodil on:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Lõpuks saab eelmises avalduses ilmuva astme 2 polünoomi ümber kirjutada kui (x + 3) (x-2). Seetõttu on lõplik faktoriseerimine järgmine:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Viited

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonomeetria analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kuidas õpetada lastele faktooringut polünoomiks.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Põhilised matemaatika rakendustega.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineaarsed meetodid polünoomifaktoriseerimiseks piiratud väljade suhtes: teooria ja rakendused. Essen ülikool.
5. Sharpe, D. (1987). Sõrmused ja faktoriseerimine.