Polünoomi võrrandid (lahendatud harjutustega)

The polünoomi võrrandid on avaldus, mis tõstab kahe väljenduse või liikme võrdsust, kus vähemalt üks võrdsuse mõistet moodustavatest terminitest on polünoomid P (x). Neid võrrandeid nimetatakse vastavalt nende muutujate astmele.

Üldiselt on võrrand avaldus, mis loob kahe väljenduse võrdsuse, kus vähemalt ühes neist on tundmatuid koguseid, mida nimetatakse muutujateks või tundmatuteks. Kuigi võrrandeid on palju, liigitatakse need tavaliselt kahte liiki: algebraline ja transtsendentne.

Polünoomi võrrandid sisaldavad ainult algebralisi väljendeid, millel võib olla võrrandis üks või mitu teadmata. Eksponendi (kraadi) järgi võib neid klassifitseerida: esimese astme (lineaarne), teise astme (ruutkeskse), kolmanda astme (kuupmeetri), neljanda astme (kvarts), suurema või võrdse viie ja irratsionaalse.

Indeks

• 1 Omadused
• 2 tüüpi
  • 2.1 Esimene klass
  • 2.2 Teine aste
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 Kõrgem klass
• 3 Harjutused lahendatud
  • 3.1 Esimene harjutus
  • 3.2 Teine harjutus
• 4 Viited

Omadused

Polünoomi võrrandid on väljendused, mille moodustavad kahe polünoomi võrdsus; st teadmata (muutujad) ja fikseeritud numbrite (koefitsientide) väärtuste vaheliste lõplike korrutuste summad, kus muutujatel võib olla eksponente ja nende väärtus võib olla positiivne täisarv, kaasa arvatud null.

Eksponendid määravad võrrandi ulatuse või tüübi. See ekspressiooni termin, millel on kõrgeim väärtus, näitab polünoomi absoluutset astet.

Polünoomivõrrandeid tuntakse ka algebraliste võrranditena, nende koefitsiendid võivad olla reaalsed või komplekssed numbrid ja muutujad on teadmata numbrid, mida tähistab täht, nagu: "x".

Kui P (x) muutuja "x" väärtus asendatakse, on tulemus null (0), siis öeldakse, et see väärtus vastab võrrandile (see on lahendus) ja seda nimetatakse üldjuhul polünoomi juureks.

Polünoomi võrrandi väljatöötamisel soovite leida kõik juured või lahendused.

Tüübid

Polünoomivõrrandeid on mitut tüüpi, mis on diferentseeritud vastavalt muutujate arvule ja ka nende eksponentide määrale.

Seega võib polünoomi võrrandeid - kus esimene termin on ainult üks tundmatu polünoom, arvestades, et selle aste võib olla ükskõik milline loomulik arv (n) ja teine ​​termin on null -, võib väljendada järgmiselt:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Kus:

- a_n, a_n-1 ja a₀, need on tegelikud koefitsiendid (numbrid).

- a_n see erineb nullist.

- Eksponent n on positiivne täisarv, mis esindab võrrandi astet.

- x on muutuja või tundmatu, mida tuleb otsida.

Polünoomi võrrandi absoluutne või suurem aste on see, mis on suurema väärtusega eksponent kõigi nende vahel, kes moodustavad polünoomi; sel viisil liigitatakse võrrandid järgmiselt:

Esimene klass

Esimese astme polünoomi võrrandid, mida tuntakse ka lineaarsete võrranditena, on need, kus aste (suurim eksponent) on võrdne 1-ga, polünoom on kujul P (x) = 0; see koosneb lineaarsest terminist ja iseseisvast terminist. See on kirjutatud järgmiselt:

ax + b = 0.

Kus:

- a ja b on reaalarvud ja a ≠ 0.

- kirves on lineaarne termin.

- b on iseseisev termin.

Näiteks võrrand 13x - 18 = 4x.

Lineaarsete võrrandite lahendamiseks tuleb kõik tundmatu x-i sisaldavad terminid edastada võrdsuse ühele küljele ja need, mis ei ole teisaldatud, teisest küljest, et seda kustutada ja lahendust saada:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Sel viisil on antud võrrandil üks lahendus või juur, mis on x = 2.

Teine klass

Teise astme polünoomivõrrandid, mida tuntakse ka kui ruutkeskmised võrrandid, on need, kus kraad (suurim eksponent) on võrdne 2-ga, polünoom on kujul P (x) = 0 ja koosneb ruutkeskmest , üks lineaarne ja üks sõltumatu. Seda väljendatakse järgmiselt:

kirves² + bx + c = 0.

Kus:

- a, b ja c on reaalarvud ja a ≠ 0.

- kirves² on ruutkordne termin ja "a" on ruutkeskmise koefitsient.

- bx on lineaarne termin ja "b" on lineaarse termini koefitsient.

- c on iseseisev termin.

Lahusti

Üldiselt on antud tüüpi võrrandite lahendus antud x-i abil võrrandist ja see jäetakse järgmiselt, mida nimetatakse lahendajaks:

Seal, (b² - 4ac) nimetatakse võrrandi diskrimineerijaks ja see väljend määrab lahenduste arvu, mida võrrand võib sisaldada:

- Jah (b² - 4ac) = 0, võrrandil on üks kahekordne lahendus; see tähendab, et teil on kaks võrdset lahendust.

- Jah (b² - 4ac)> 0, võrrandil on kaks erinevat reaalset lahendust.

- Jah (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Näiteks on sul võrrand 4x² + 10x - 6 = 0, selle lahendamiseks identifitseerige kõigepealt terminid a, b ja c ning asendage see valemiga:

a = 4

b = 10

c = -6.

On juhtumeid, kus teise astme polünoomivõrranditel ei ole kolme mõistet, mistõttu nad lahendatakse erinevalt:

- Juhul, kui ruutvõrranditel ei ole lineaarset terminit (st b = 0), väljendatakse võrrandit kirves² + c = 0. Selle lahendamiseks kustutatakse see x² ja iga ruudu juure rakendatakse igal liikmel, pidades meeles, et kaht võimalikku märki, mida tundmatu võib olla, käsitletakse:

kirves² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Näiteks 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kui ruutvõrrandil ei ole iseseisvat terminit (st c = 0), väljendatakse võrrandit kirves² + bx = 0. Et seda lahendada, peame esimese liikme puhul välja andma tundmatu x ühise teguri; kuna võrrand on võrdne nulliga, on tõsi, et vähemalt üks teguritest on võrdne 0-ga:

kirves² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Nii peate:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Näiteks: sul on võrrand 5x² + 30x = 0. Esimene tegur:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Loodakse kaks tegurit, mis on x ja (5x + 30). Leitakse, et üks neist on võrdne nulliga ja teine ​​lahendus antakse:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Suurem aste

Suurema ulatusega polünoomi võrrandid on need, mis ulatuvad kolmandast kraadist edasi, mida saab väljendada või lahendada üldise polünoomi võrrandiga mis tahes määral:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Seda kasutatakse, sest võrrand, mille aste on suurem kui kaks, on polünoomi faktoriseerimise tulemus; see tähendab, et seda väljendatakse ühe või mitme astme polünoomide korrutamisena, kuid ilma tegelike juurteta.

Seda tüüpi võrrandite lahendus on otsene, sest kahe teguri korrutamine on võrdne nulliga, kui mõni neist teguritest on null (0); seetõttu tuleb kõik leitud polünoomi võrrandid lahendada, sobitades iga selle teguri nulliga.

Näiteks on teil kolmanda astme (kuupmeetri) x võrrand³ + x² +4x + 4 = 0. Selle lahendamiseks tuleb järgida järgmisi samme:

- Terminid on rühmitatud:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Jäsemed jagunevad, et saada teadaoleva teguri ühine tegur:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Sel viisil saadakse kaks tegurit, mis peavad olema võrdsed nulliga:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- On näha, et tegur (x² + 4) = 0 ei oma reaalset lahendust, samas kui tegur (x + 1) = 0 jah. Seetõttu on lahendus:

(x + 1) = 0

x = -1.

Lahendatud harjutused

Lahenda järgmised võrrandid:

Esimene harjutus

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Lahendus

Sel juhul väljendatakse võrrandit polünoomide korrutisena; see tähendab, et seda arvestatakse. Selle lahendamiseks peab iga tegur olema võrdne nulliga:

- 2x² + 5 = 0, ei ole lahendust.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Seega on antud võrrandil kaks lahendust: x = 3 ja x = -1.

Teine harjutus

x⁴ - 36 = 0.

Lahendus

Sellele anti polünoom, mida saab ümber kirjutada kui ruutude erinevust, et jõuda kiirema lahenduseni. Seega jääb võrrand:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Võrrandite lahenduse leidmiseks on mõlemad tegurid nulliga võrdsed:

(x² + 6) = 0, ei ole lahendust.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Seega on esialgsel võrrandil kaks lahendust:

x = √6.

x = - √6.

Viited

1. Andres, T. (2010). Matemaatiline olümpiaad Tresure. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Algne algebra Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaarne algebra ja projektiivne geomeetria. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: kultuur.
5. Castaño, H. F. (2005). Matemaatika enne arvutamist. Medellini ülikool.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matemaatika käsiraamat olümpia ettevalmistamiseks. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matemaatika 3.