3 Lineaarsete võrrandite süsteemid ja nende lahendamine

The lineaarsed võrrandid need on ühe või mitme tundmatu polünoomi võrrand. Sellisel juhul ei ole tundmatud võimudeni tõusnud ega ka omavahel mitmekordistunud (sel juhul öeldakse, et võrrand on 1. astme või esimese astme aste).

Võrrand on matemaatiline võrdsus, kus on üks või mitu tundmatut elementi, mida me nimetame tundmatuks või tundmatuks juhul, kui on rohkem kui üks. Selle võrrandi lahendamiseks on vaja teada tundmatu väärtust.

Lineaarsel võrrandil on järgmine struktuur:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Kus₀, a₁, a₂,..., a_n on reaalarvud, millest me teame nende väärtust ja mida nimetatakse koefitsientideks, b on ka tuntud reaalarv, mida nimetatakse sõltumatuks terminiks. Ja lõpuks on nad X₁, X_2,..., X_n mis on nn tundmatud. Need on muutujad, mille väärtus pole teada.

Lineaarsete võrrandite süsteem on lineaarsete võrrandite kogum, kus tundmatute väärtus on igas võrrandis sama.

Loogiliselt on lineaarsete võrrandite süsteemi lahendamine väärtuste määramine tundmatutele, nii et võrdsust saab kontrollida. See tähendab, et tundmatud tuleb arvutada nii, et kõik süsteemi võrrandid oleksid üheaegselt täidetud. Me esindame lineaarsete võrrandite süsteemi järgmiselt

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 kus a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n jne on tegelikud numbrid ja tundmatud lahendused X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Iga lineaarne võrrand esindab rida ja seetõttu kujutab N-lineaarsete võrrandite võrrandite süsteem N-sirgelt joonistatud ruumis.

Sõltuvalt tundmatute arvust, mida igal lineaarsel võrrandil on, on nimetatud võrrandit esindav rida esindatud erinevas mõõtmes, st kahe tundmatu võrrandiga (näiteks 2 · X₁ + X₂ = 0) tähistab rida kahemõõtmelises ruumis, võrrand kolme teadmata (näiteks 2 x X)₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) oleks esindatud kolmemõõtmelises ruumis ja nii edasi.

Võrrandite süsteemi lahendamisel X väärtused₀,..., X_n ,X_{n + 1} juhtub, et need on lõikepunktid ridade vahel.

Võrreldes võrrandite süsteemiga saame jõuda erinevatele järeldustele. Sõltuvalt saadud tulemuse tüübist saame eristada kolme tüüpi lineaarsete võrrandite süsteeme:

1 - Määratlemata ühilduvus

Kuigi see võib tunduda naljana, on võimalik, et võrrandite süsteemi lahendamisel jõuame stiili 0 = 0 ilmsuseni..

Selline olukord tekib siis, kui võrrandite süsteemile on olemas lõputuid lahendusi ja see juhtub siis, kui selgub, et meie võrrandisüsteemis esindavad võrrandid sama rida. Me näeme seda graafiliselt:

Võrrandite süsteemina võtame:

2 lahendust leidvate 2 võrrandiga, mis suudavad lahendada, saab esindada jooni kahemõõtmelisel tasandil

Kuna näeme jooni sama, siis ühtivad kõik esimese võrrandi punktid teise võrrandi punktidega, seega on sama palju punkte lõigatud kui punktid, millel rida on, see on lõpmatus.

2- Kokkusobimatu

Nime lugedes võime ette kujutada, et meie järgmise võrrandite süsteemil ei ole lahendust.

Kui püüame lahendada näiteks seda võrrandisüsteemi

Graafiliselt oleks:

Kui korrutame kõik teise võrrandi terminid, siis saadakse, et X + Y = 1 võrdub 2 · X + 2 · Y = 2. Ja kui see viimane väljend lahutatakse esimesest võrrandist, siis saame

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Või mis on sama

0 = 1

Kui oleme sellises olukorras, tähendab see, et võrrandisüsteemis esindatud jooned on paralleelsed, mis tähendab, et määratluse järgi ei ole neid kunagi lõigatud ega lõigatud. Kui süsteem on sellisel viisil esitatud, on see sõltumatu sõltumatu.

3 - Kindel toetus

Lõpuks jõuame juhtumini, kus meie võrrandisüsteemil on üks lahendus, juhtum, kus meil on read, mis lõikuvad ja loovad lõikepunkti. Vaatame näiteks:

Selle lahendamiseks saame lisada kaks võrrandit, et saada

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Kui me lihtsustame, oleme lahkunud

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Sellest järeldame, et X = 2 ja asendades või X = 2 mis tahes algses võrrandis saame Y = 3.

Visuaalselt oleks see:

Lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamise meetodid

Nagu me eelmises osas nägime, on 2 tundmatu ja 2 võrrandiga süsteemide puhul, mis põhinevad lihtsatel toimingutel, nagu lisamine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja asendamine, lahendada need mõne minuti jooksul. Aga kui me püüame seda metoodikat rakendada rohkem võrrandite ja tundmatumate süsteemide jaoks, muutuvad arvutused tüütuid ja me saame kergesti viga teha.

Arvutuste lihtsustamiseks on mitmeid lahendamismeetodeid, kuid kahtlemata on kõige levinumad meetodid Crameri reegel ja Gauss-Jordaania likvideerimine..

Crameri meetod

Selleks, et selgitada, kuidas seda meetodit rakendatakse, on oluline teada, milline on selle maatriks ja oskab leida selle determinandi, teeme sulgudena nende kahe mõiste määratlemiseks.

Üks maatriks see ei ole midagi muud kui numbrite või algebraliste sümbolite komplekt, mis on paigutatud horisontaalsetesse ja vertikaalsetesse joontesse ning mis on paigutatud ristküliku kujul. Meie teema puhul kasutame maatriksit lihtsamalt meie võrrandisüsteemi väljendamiseks.

Vaatame näiteks:

See on lineaarsete võrrandite süsteem

See lihtne võrrandite süsteem, mida me võime kokku võtta, on kahe 2 × 2 maatriksi toimimine, mille tulemuseks on 2 × 1 maatriks.

Esimene maatriks vastab kõikidele koefitsientidele, teine ​​maatriks on tundmatu, mida lahendada, ja võrdsusjärgne maatriks identifitseeritakse võrrandite sõltumatute terminitega

The determinant on operatsioon, mida rakendatakse maatriksile, mille tulemus on reaalarv.

Meie eelmises näites leitud maatriksi puhul oleks selle determinantiks järgmine:

Kui maatriksi ja determinantide mõisted on määratletud, võime selgitada, milline on Crameri meetod.

Selle meetodi abil suudame kergesti lahendada lineaarsete võrrandite süsteemi, kui süsteem ei ületa kolme võrrandit kolme tundmatusega, kuna maatriksi determinantide arvutamine on 4 × 4 või kõrgema maatriksiga väga raske. Kui on olemas süsteem, millel on rohkem kui kolm lineaarset võrrandit, soovitatakse seda meetodit Gauss-Jordaania kõrvaldamisega.

Jätkates eelmise näitega, peame Crameri abil lihtsalt arvutama kaks tegurit ja sellega leiame meie kahe tundmatu väärtuse.

Meil on süsteem:

Ja meil on süsteem, mida esindavad maatriksid:

X väärtus on leitud:

Lihtsalt jagunemise nimetaja juures paikneva determinandi arvutamisel oleme asendanud sõltumatu terminite maatriksi esimese kommuuni. Jaotuse nimetajal on meil meie algse maatriksi determinant.

Samade arvutuste tegemine Y leidmiseks:

Gauss-Jordaania kõrvaldamine

Me määratleme laiendatud maatriks maatriksile, mis tuleneb võrrandisüsteemist, kus me lisame maatriksi lõpus sõltumatud terminid.

Gauss-Jordaania kõrvaldamise meetod koosneb maatriksi ridade vahelisest operatsioonist, et muuta meie laiendatud maatriks palju lihtsamaks maatriksiks, kus mul on nullid kõigis väljades, välja arvatud diagonaal, kus ma pean mõne. Järgmine:

Kui X ja Y oleksid reaalarvud, mis vastavad meie tundmatutele.

Lahendame selle süsteemi, eemaldades Gauss-Jordaania:

Meil on juba õnnestunud saada null meie maatriksi vasakus alumises osas, järgmine samm on saada 0 ülemisse parempoolsesse osa..

Maatriksi ülemisse vasakusse nurka oleme jõudnud 0-ni, nüüd peame diagonaali muutma ainult nendeks ja oleme juba oma süsteemi Gauss-Jordaania poolt lahendanud.

Seetõttu jõuame järeldusele, et:

Viited

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Lineaarsete võrrandite süsteemid (ilma kuupäevata). Taastati uco.es-st.
4. Lineaarsete võrrandite süsteemid. 7. peatükk (dateerimata). Välja otsitud sauce.pntic.mec.es.
5. Lineaarne algebra ja geomeetria (2010/2011). Lineaarsete võrrandite süsteemid. Peatükk 1. Algebra osakond. Sevilla ülikool. Hispaania Taastati algebra.us.es-st.